Octagon

tavallinen oktagoni

Tyyppi

säännöllinen monikulmio

särmät ja kärkipisteet

Schläflin symboli

{8}, lä{4}

Coxeter-Dynkinin diagrammit

Symmetriaryhmä

Dihedraalinen (D8), järjestys 2×8

sisäkulma (astetta)

135°

ominaisuudet

Kupera, syklinen, tasasivuinen, isogonaalinen, isotoksinen

geometriassa kahdeksankulmio (kreikan sanasta ὀκτάγωνον oktágōnon, ”kahdeksan kulmaa”) on kahdeksansivuinen monikulmio eli 8-kulmio.

säännöllisellä kahdeksankulmiolla on Schläflin symboli {8} ja se voidaan myös konstruoida kvasisäännölliseksi typistetyksi neliöksi t{4}, joka vuorottelee kahdentyyppisiä särmiä. Typistetty oktagoni, t{8} on heksadekagoni, {16}. Kahdeksankulmion 3D-analogi voi olla rombikuboktaedri, jonka kolmiomaiset tahkot ovat siinä kuin korvautuneet särmät, jos kahdeksankulmiota pidetään typistettynä neliönä.

yleisen oktagonin ominaisuudet

minkä tahansa kahdeksankulmion kaikkien sisäkulmien summa on 1080°. Kuten kaikilla monikulmioilla, ulkokulmat ovat yhteensä 360°.

jos neliöt konstruoidaan kokonaan sisäisesti tai ulkoisesti kahdeksankulmion sivuille, niin vastakkaisten neliöiden keskipisteitä yhdistävien janojen keskipisteet muodostavat nelikulmion, joka on sekä ekidiagonaalinen että ortodiagonaalinen (eli jonka lävistäjät ovat yhtä pitkät ja suorassa kulmassa toisiinsa nähden).: Rekvisiitta. 9

referenssioktagon midpoint octagon on sen kahdeksan kärkipistettä referenssikoktagon sivujen midpoints. Jos neliöt on rakennettu kaikki sisäisesti tai kaikki ulkoisesti puolin midpoint octagon, sitten midpoints, segmenttien yhdistävät keskipisteet vastakkaisten neliöiden itse muodostavat vertices, neliön.: Rekvisiitta. 10

säännöllinen kahdeksankulmio

säännöllinen kahdeksankulmio on suljettu luku, jonka sivut ovat samanpituisia ja sisäkulmat samankokoisia. Siinä on kahdeksan riviä heijastavaa symmetriaa ja rotaatiosymmetria kertaluokkaa 8. Säännöllistä kahdeksankulmiota edustaa schläflin symboli {8}.Säännöllisen kahdeksankulmion jokaisen kärkipisteen sisäinen kulma on 135° ( 3 π 4 {\displaystyle \scriptstyle {\frac {3\pi }{4}}} radiaanit). Keskuskulma on 45° ( π 4 {\displaystyle \scriptstyle {\frac {\pi }{4}}} radiaanit).

pinta-ala

säännöllisen kahdeksankulmion pinta-ala, jonka sivun pituus a, saadaan kaavalla

A = 2 cot ⁡ π 8 a 2 = 2 ( 1 + 2 ) a 2 ≃ 4.828 a 2 . {\displaystyle A=2\cot {\frac {\pi }{8}}a^{2}=2(1+{\sqrt {2}}) a^{2}\simeq 4.828\, a^{2}.}

circumradius R: n pinta-ala on

a = 4 sin π π 4 R 2 = 2 2 R 2 ≃ 2 828 R 2 . {\displaystyle A=4\sin {\frac {\pi }{4}}r^{2}=2{\sqrt {2}}r^{2}\simeq 2,828\,R^{2}.}

apoteemin r (Katso myös kaiverrettu kuva ) pinta − ala on

a = 8 tan π π 8 r 2 = 8 ( 2-1) r 2 ≃ 3.314 r 2 . {\displaystyle A=8\tan {\frac {\pi }{8}}R^{2}=8({\sqrt {2}}-1)R^{2}\simeq 3.314\,r^{2}.}

nämä kaksi viimeistä kerrointa sulkevat piin arvon, yksikköympyrän pinta-alan.

pinta − ala voidaan ilmaista myös muodossa

A = S 2-a 2 , {\displaystyle \,\!A = S^{2} – a^{2},}

missä S On kahdeksankulmion jänneväli eli toiseksi Lyhin lävistäjä, ja a on yhden sivun eli emästen pituus. Tämä on helposti todistettu, jos otetaan kahdeksankulmio, piirtää neliön ympäri ulkopuolella (varmista, että neljä kahdeksasta puolin päällekkäisiä kanssa neljä puolin neliö) ja sitten ottaa kulma kolmiot (nämä ovat 45-45-90 kolmiot) ja asettaa ne suorassa kulmassa huomautti sisäänpäin, muodostaen neliön. Tämän neliön reunat ovat kukin pohjan pituisia.

kun otetaan huomioon sivun a pituus, span s On

s = a 2 + a + A 2 = ( 1 + 2 ) a ≈ 2,414 a . {\displaystyle S={\frac {a}{\sqrt {2}}}+a+{\frac {a}{\sqrt {2}}}=(1+{\sqrt {2}}) a\approx 2.414 a.}

jänneväli on siis yhtä suuri kuin hopeasuhde kertaa sivu, a.

pinta − ala on silloin kuten yllä:

a = ( ( 1 + 2 ) a ) 2-a 2 = 2 ( 1 + 2 ) a 2 ≈ 4.828 a 2 . {\displaystyle A=((1+{\sqrt {2}}) a)^{2} – a^{2}=2(1+{\sqrt {2}}) a^{2}\approx 4.828 a^{2}.}

asteikolla ilmaistuna pinta − ala on

a = 2 ( 2-1 ) S 2 ≈ 0, 828 s 2 . {\displaystyle A=2 ({\sqrt {2}}-1)s^{2}\approx 0,828 s^{2}.}

toinen yksinkertainen alueen kaava on

a = 2 A S . {\displaystyle \ A = 2aS.}

useammin tunnetaan jänneväli S ja sivujen pituus a, kuten leikattaessa neliönmuotoista kappaletta säännölliseksi kahdeksankulmioksi. Edellä olevasta

A ≈ S / 2, 414. {\displaystyle A\approx s/2.414.}

kummankin sivun kaksi päätypituutta e (neliöstä typistettyjen kolmioiden (kuvassa vihreä) jalkapituudet), samoin kuin e = a/2, {\displaystyle e=a/{\sqrt {2}},} voidaan laskea arvoksi

e = ( S − a) / 2. – mitä?e=(S-a) / 2.}

Circumradius ja inradius

säännöllisen kahdeksankulmion circumradius sivun pituuden a suhteen on

R = ( 4 + 2 2 2 ) a, {\displaystyle R=\left ({\frac {\sqrt {4+2{\sqrt{2}}}}{2}}\oikea) a,}

ja inradius on

r = (1 + 2 2 ) a . {\displaystyle r=\left ({\frac {1+{\sqrt {2}}}{2}}\oikea) a.}

(eli puolet hopeasuhteesta kertaa sivu, A, tai puolet span, S)

lävistäjät

säännöllisellä kahdeksankulmiolla on sivun pituuden a osalta kolme erityyppistä lävistäjää:

• lyhyt lävistäjä;
• keskipitkä lävistäjä (kutsutaan myös span tai korkeus), joka on kaksi kertaa inradiuksen pituus;
• pitkä lävistäjä, joka on kaksi kertaa circumradiuksen pituus.

kunkin niistä kaava seuraa geometrian perusperiaatteista. Tässä kaavat niiden pituudelle:

• lyhyt lävistäjä: a 2 + 2 {\displaystyle A{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}} ;
• Medium diagonal: (1 + 2 ) A {\displaystyle (1+{\sqrt {2}})a} ; (hopeasuhde kertaa A)
• pitkä diagonaali: a 4 + 2 2 {\displaystyle a{\sqrt {4+2{\sqrt{2}}}}} .

rakenne ja perusominaisuudet

säännöllinen kahdeksankulmio tietyssä circumcircle voidaan konstruoida seuraavasti:

1. piirrä ympyrä ja halkaisija AOE, jossa O on keskellä ja A, E ovat pisteitä, circumcircle.
2. piirretään toinen halkaisija Kiinan viranomaiset kohtisuoraan AOE: hen nähden.
3. (huomaa ohimennen,että A,C,E, G ovat neliön kärkipisteitä).
4. piirretään oikeakulmaisten Goa-ja EOG-kulmien puolittajat, jolloin saadaan vielä kaksi halkaisijaa HOD ja FOB.
5. A,B,C,D,E,F,G, H ovat kahdeksankulmion kärkipisteitä.

säännöllinen kahdeksankulmio voidaan konstruoida suoralla ja kompassilla, sillä 8 = 23, kahden potenssi:

säännöllinen kahdeksankulmio voidaan rakentaa meccano-tangoilla. Tarvitaan kaksitoista kokoa 4, kolme kokoa 5 ja kaksi kokoa 6.

kummallakin puolella säännöllinen octagon subtends puoli oikeassa kulmassa keskellä ympyrän, joka yhdistää sen vertices. Sen pinta-ala voidaan siis laskea 8 tasakylkisen kolmion summana, mikä johtaa tulokseen:

Area = 2 a 2 (2 + 1) {\displaystyle {\text{Area}} = 2a^{2} ({\sqrt {2}}+1)}

octagonille, jonka sivu on a.

Vakiokoordinaatit

säännöllisen Octagon kärkipisteiden koordinaatit, joiden keskipisteenä on Origo ja joiden sivun pituus on 2, ovat:

• (±1, ±(1+√2))
• (±(1+√2), ±1).

dissektio

8-kuutioprojektio	24 rommin dissektio
	säännöllinen	Isotoksinen

Coxeter todetaan, että jokainen zonogon (a 2m-gon, jonka vastakkaiset puolet ovat yhdensuuntaisia ja yhtä pitkiä) voidaan dissected osaksi m (m-1)/2 parallelograms.In erityisesti tämä pätee säännöllisiin monikulmioihin, joilla on tasaisesti monta sivua, jolloin parallelogrammit ovat kaikki rhombeja. Säännölliselle oktagonille m=4, ja se voidaan jakaa 6 rhombiin, joista yksi esimerkki on alla. Tämä hajoaminen voidaan nähdä 6 24 Kasvot Petrie monikulmio projektio taso tesseract. Luettelo (OEIS: n sekvenssi A006245) määrittelee ratkaisujen määrän 8: ksi tämän yhden dissektion 8: n suuntauksen mukaan. Näitä neliöitä ja rombeja käytetään Ammann–Benkerin laatoituksissa.

säännöllinen Octagon dissected

Tesserakti

4 rhombia ja 2 neliötä

Vinooktagoni

a skew octagon on skew monikulmio 8 vertices ja reunat, mutta ei ole olemassa samalla tasolla. Tällaisen kahdeksankulmion sisusta ei ole yleisesti määritelty. A skew zig-zag octagon on vertices vuorotellen kahden yhdensuuntaisia lentokoneita.

säännöllinen vinotransitiivi on kärkitransitiivi, jonka reunapituudet ovat yhtä suuret. 3-ulottuvuuksissa se on siksak skew kahdeksankulmio ja voidaan nähdä neliön antiprisman kärkipisteissä ja sivureunoissa, joilla on sama D4D, symmetria, järjestys 16.

Petrien monikulmio

säännöllinen vinokulmio on näiden korkeampiulotteisten säännöllisten ja uniformisten polytooppien Petrien monikulmio, joka on esitetty näissä vinokulmioisissa ortogonaaliprojektioissa A7 -, B4-ja D5-Coxeter-tasoissa.

A7	D5	B4
7-simplex	5-demicube	16-soluinen	Tesserakti

kahdeksankulmion symmetria

symmetria

säännöllisen kahdeksankulmion 11 symmetriaa. Lines heijastuksia ovat sininen kautta vertices, violetti kautta reunat, ja gyration tilauksia annetaan keskellä. Kärkipisteitä värittää niiden symmetria-asento.

säännöllisellä kahdeksankulmiolla on dih8-symmetria, järjestyksessään 16. On olemassa 3 dihedristä alaryhmää: Dih4, Dih2 ja dih1, ja 4 syklistä alaryhmää: Z8, Z4, Z2 ja Z1, joista viimeinen ei sisällä symmetriaa.

esimerkiksi oktagonit symmetrian mukaan

r16
d8	g8	p8
d4	g4	p4
d2	g2	p2
a1

säännöllisellä kahdeksankulmiolla on 11 erillistä symmetriaa. John Conway luokittelee täyden symmetrian R16: ksi. Dihedriset symmetriat jaetaan sen mukaan, kulkevatko ne kärkipisteiden (diagonaali d) kautta vai särmät (pystysuorat P) sykliset symmetriat keskimmäisessä sarakkeessa merkitään g: ksi niiden keskihyrräysluokille. Säännöllisen muodon täysi symmetria on r16 ja mitään symmetriaa ei merkitä A1.

yleisimmät korkean symmetrian oktagonit ovat p8, neljän peilin rakentama isogonaalinen oktagoni voi vuorotella pitkiä ja lyhyitä särmiä, ja d8, isotoksinen oktagoni, jonka reunapituudet ovat yhtä suuret, mutta verticet vuorottelevat kahta eri sisäkulmaa. Nämä kaksi muotoa ovat toistensa duaaleja ja niillä on puolet säännöllisen kahdeksankulmion symmetriajärjestyksestä.

jokainen aliryhmäsymmetria mahdollistaa yhden tai useamman vapausasteen epäsäännöllisille muodoille. Vain G8-alaryhmällä ei ole vapausasteita, vaan se voidaan nähdä suunnattuina reunoina.

oktagonien käyttötavat

kahdeksankulmaista muotoa käytetään arkkitehtuurissa suunnitteluelementtinä. Kalliomoskeijalla on tunnusomainen kahdeksankulmainen suunnitelma. Ateenan tuulten torni on toinen esimerkki Kahdeksankulmaisesta rakennelmasta. Kahdeksankulmainen suunnitelma on ollut myös kirkkoarkkitehtuurissa, kuten Pyhän Yrjön katedraali, Addis Abeba, San Vitalen basilika (Ravenna, Italia), Castel del Monte (Apulia, Italia), Florence Baptistery, Zum Friedefürstenin kirkko (Saksa) ja joukko kahdeksankulmaisia kirkkoja Norjassa. Aachenin katedraalin keskeisessä tilassa, Carolingian Palatine-kappelissa, on säännöllinen kahdeksankulmainen lattialevy. Oktagonien käyttö kirkoissa sisältää myös vähäisempiä sisustuselementtejä, kuten nidaroksen katedraalin kahdeksankulmainen apse.

arkkitehdit kuten John Andrews ovat käyttäneet kahdeksankulmaisia pohjaratkaisuja rakennuksissa erottaakseen toiminnallisesti toimistoalueet taloteknisistä palveluista, erityisesti Intelsatin pääkonttori Washington D. C.: ssä, Callamin toimistot Canberrassa ja Octagonin toimistot Parramattassa Australiassa.

muut käyttötarkoitukset

• 

  sateenvarjoilla on usein kahdeksankulmainen ääriviivat.

• 

  kuuluisa Bukhara matto design sisältää kahdeksankulmainen ”norsun jalka” motiivi.

• 

  Barcelonan Eixamplen kaupunginosan katu & korttelin pohjapiirros perustuu ei-tavallisiin oktagoneihin

• 

  janggi käyttää kahdeksankulmaisia kappaleita.

• 

  japanilaiset lottokoneet ovat usein kahdeksankulmaisia.

• 

  Stop-merkkiä käytetään englanninkielisissä maissa sekä useimmissa Euroopan maissa

• 

  stop-merkin ikoni, jonka keskellä on käsi.

• 

  taolaisen Baguan trigrammit järjestetään usein kahdeksankulmaisesti

• 

  kuuluisa kahdeksankulmainen kultamalja Belitungin haaksirikosta

• 

  luokat Shimer College ovat perinteisesti järjestetään noin kahdeksankulmainen taulukoita

• 

  Reimsin katedraalin labyrintti, jonka muoto on lähes kahdeksankulmainen.

• 

  Nintendo 64-ohjaimen, GameCube-ohjaimen, Wii Nunchukin ja Classic-ohjaimen analogisten tikkujen liikkumista rajoittaa kiertyvä kahdeksankulmainen alue, jolloin tikku voi liikkua vain kahdeksaan eri suuntaan.

johdetut luvut

• 

  typistetyssä neliölaatoituksessa on 2 oktagonia jokaisen huippupisteen ympärillä.
  

• 

  kahdeksankulmaisessa Prismassa on kaksi kahdeksankulmaista tahkoa.
  

• 

  kahdeksankulmainen antiprisma sisältää kaksi kahdeksankulmaista tahkoa.
  

• 

  typistetty kuboktaedri sisältää 6 kahdeksankulmaista tahkoa.
  

toisiinsa liittyvät polytoopit

kahdeksankulmio on typistettynä neliönä ensimmäinen typistettyjen hyperkuutioiden jonossa:

typistetyt hyperkuutiot

Kuva								…
nimi	oktagon	typistetty kuutio	typistetty tesserakti	typistetty 5-kuutio	typistetty 6-kuutio	typistetty 7-kuutio	typistetty 8-kuutio
Coxeterin kaavio
Verteksiluku	() v( )	() v{ }	() v{3}	() v{3,3}	( )v{3,3,3}	( )v{3,3,3,3}	( )v{3,3,3,3,3}

laajennettuna neliönä se on myös ensimmäisenä laajennettujen hyperkuutioiden järjestyksessä:

laajentuneet hyperkuutiot

							…
Oktagoni	Rombikuboktaedri	Runcinated tesseract	Stericated 5-cube	Pentellated 6-cube	Heksicated 7-cube	Heptellated 8-cube

Katso myös

• Puskurilammikko
• kahdeksankulmainen talo
• kahdeksankulmainen
• Oktagrammi
• oktaedri, 3d-muoto, jossa on kahdeksan tahkoa.
• Oktogon, suuri risteysasema Budapestissa, Unkarissa
• Rub el Hizb (tunnetaan myös nimillä Al Qudsin tähti ja Oktan tähti)
• tasoitettu oktagoni

Etsi octagon wiktionaryssa, vapaassa sanakirjassa.

• Octagon Calculator
• Octagon Definition and properties of an octagon With interactive animation