Szabályos sokszög
{8}, t{4}
Dihedrális (D8), sorrend 2×8
135°
konvex, ciklikus, egyenlő oldalú, izogonális, izotoxális
ban ben geometria, an nyolcszög (a görögből okt okt stb.
egy szabályos nyolcszögnek van {8} Schl ons szimbólum, és felépíthető kvázireguláris csonka négyzetként is, t{4}, amely kétféle éltípust vált fel. A csonka nyolcszög, t{8} egy hexadekagon, {16}. A nyolcszög 3D-s analógja lehet A rombikuboktaéder háromszög alakú felületekkel, mint a kicserélt élek, ha a nyolcszöget csonka négyzetnek tekintjük.
az Általános nyolcszög tulajdonságai
bármely nyolcszög összes belső szögének összege 1080^. Mint minden sokszög esetében, a külső szögek is összesen 360 db.
ha a négyzetek mind belsőleg, mind külsőleg egy nyolcszög oldalán vannak felépítve, akkor az ellentétes négyzetek középpontjait összekötő szegmensek középpontjai négyszöget alkotnak, amely mind egyenlő, mind ortodiagonális (Vagyis amelynek átlói egyenlő hosszúak és derékszögűek egymással).: Prop. 9
a referencia nyolcszög középpont nyolcszögének nyolc csúcsa a referencia nyolcszög oldalainak középpontjaiban van. Ha a négyzetek belsőleg vagy külsőleg épülnek fel a középpont nyolcszög oldalán, akkor az ellentétes négyzetek középpontjait összekötő szegmensek középpontjai maguk alkotják a négyzet csúcsait.: Prop. 10
szabályos nyolcszög
a szabályos nyolcszög egy zárt alak, amelynek oldalai azonos hosszúak és belső szögei azonos méretűek. Nyolc vonala van a fényvisszaverő szimmetriának és a 8. rendű forgási szimmetriának. A szabályos nyolcszöget a {8} Schl Pcsfli szimbólum képviseli.A szabályos nyolcszög minden egyes csúcsának belső szöge 135 dB (3 db 4 {\displaystyle \ scriptstyle {\frac {3 \ pi }{4}}} 
terület
az a oldalhosszúságú szabályos nyolcszög területét
adja meg a = 2 gyermekágy 6 a 2 = 2 ( 1 + 2 ) a 2 4.828 a 2 . {\displaystyle A=2 \ cot {\frac {\pi }{8}}a^{2}=2(1+{\sqrt {2}}) a^{2} \ simeq 4.828\, a^{2}.}
az R circumradius szempontjából a terület
A = 4 sin 6 r 2 = 2 2 R 2 2,828 R 2 . {\displaystyle a=4 \ sin {\frac {\pi }{4}}R^{2}=2 {\sqrt {2}}R^{2} \ simeq 2,828\, R^{2}.}
az apothem r szempontjából (Lásd még a beírt ábrát), a terület
A = 8 tan 6 r 2 = 8 ( 2 − 1 ) r 2 3,314 r 2 . {\displaystyle a=8 \ tan {\frac {\pi }{8}}r^{2}=8 ({\sqrt {2}}-1)r^{2}\simeq 3,314\,r^{2}.}
ez az utolsó két együttható zárójelbe teszi a pi értékét, az egységkör területét.
a terület kifejezhető úgy is, hogy
A = S 2 – a 2, {\displaystyle\,\!A = S^{2}-a^{2},}
ahol S a nyolcszög fesztávolsága, vagy a második legrövidebb átló; a pedig az egyik oldal vagy alap hossza. Ez könnyen bebizonyítható, ha az ember nyolcszöget vesz, négyzetet rajzol a külseje köré (ügyelve arra, hogy a nyolc oldal közül négy átfedje a négyzet négy oldalát), majd a sarok háromszögeket veszi (ezek 45-45-90 háromszögek), és derékszögekkel befelé mutatva négyzetet alkot. Ennek a négyzetnek az élei mindegyike az alap hossza.
az A oldal hosszát tekintve az S fesztávolság
S = a 2 + a + a 2 = ( 1 + 2 ) a 2,414 a . {\displaystyle S = {\frac {a} {\sqrt {2}}}+a + {\frac {a} {\sqrt {2}}}=(1+{\sqrt {2}}) a \ kb 2,414 a.}
a fesztávolság tehát megegyezik az oldal szorzatának ezüst arányával, a.
a terület akkor a fenti:
a = ( ( 1 + 2 ) a ) 2 − a 2 = 2 ( 1 + 2 ) a 2 6,828 a 2 . {\displaystyle A=((1 + {\sqrt {2}})a)^{2}-a^{2}=2(1+{\sqrt {2}}) a^{2}\KB 4,828 a^{2}.}
az ívtartományban kifejezve a terület
A = 2 ( 2 − 1 ) S 2 0,828 s 2 . {\displaystyle a=2 ({\sqrt {2}}-1)s^{2}\Kb. 0,828 s^{2}.}
egy másik egyszerű képlet a területre
a = 2 A S . {\displaystyle \ A=2AS.}
gyakrabban ismert az S fesztávolság, és meg kell határozni az A oldalak hosszát, mint amikor egy négyzet alakú anyagdarabot szabályos nyolcszögre vágunk. A fentiekből következik,
a 6/2.414. {\displaystyle a\kb S / 2,414.}
a két véghossz mindkét oldalon (a háromszögek lábhossz (a képen zöld) a négyzetből csonka), valamint az e = a / 2 , {\displaystyle e=a/{\sqrt {2}},} 
e = ( S − A ) / 2. {\displaystyle\,\!e=(S-a)/2.}
Circumradius és inradius
a szabályos nyolcszög circumradiusa az a oldalhosszt tekintve
R = ( 4 + 2 2 2 ) a, {\displaystyle R=\left ({\frac {\sqrt {4 + 2 {\sqrt {2}}}}{2}}\jobbra) a,}
és az inradius
r = ( 1 + 2 2 ) a . {\displaystyle r = \ left ({\frac {1 + {\sqrt {2}}}{2}}\jobbra) a.}
(azaz az ezüst arány fele az oldal, a vagy a fesztávolság fele, S)
Átlók
a szabályos nyolcszög az a oldalhossz szempontjából három különböző típusú átlóval rendelkezik:
- rövid átló;
- közepes átló (más néven span vagy magasság), amely kétszerese az inradius hosszának;
- hosszú átló, amely kétszerese a circumradius hosszának.
mindegyikük képlete a geometria alapelveiből következik. Itt vannak a hosszúság képletei:
- rövid átló: a 2 + 2 {\displaystyle a {\sqrt {2 + {\sqrt {2}}}}}
;
- közepes átló: ( 1 + 2 ) a {\displaystyle (1+{\sqrt {2}}) a}
; (ezüst arány szorozva a)
- hosszú átló: a 4 + 2 2 {\displaystyle a {\sqrt {4 + 2 {\sqrt {2}}}}}
.
építőipar és elemi tulajdonságok
egy szabályos nyolcszög egy adott körkörön a következőképpen építhető fel:
- Rajzolj egy kört és egy átmérőt AOE, ahol O a középpont és A, E pontok a körkörön.
- rajzoljon egy másik átmérőt AOE-ra merőlegesen.
- (mellékesen vegye figyelembe,hogy A,C,E, G egy négyzet csúcsa).
- rajzolja meg a derékszögek felezőit GOA és EOG, még két átmérővel HOD és FOB.
- A,B,C,D,E,F,G,H a nyolcszög csúcsai.
(a felépítés nagyon hasonló a hexadekagonéhoz egy adott oldalhosszon.)
egy szabályos nyolcszög egy egyenes és egy iránytű segítségével építhető fel, mint 8 = 23, két teljesítmény:
a szokásos nyolcszög meccano rudakkal építhető. Tizenkét 4-es méretű rúdra, három 5-ös és két 6-os méretű rúdra van szükség.
a szabályos nyolcszög mindkét oldala fél derékszöget vet fel a csúcsait összekötő kör közepén. Területe tehát 8 egyenlő szárú háromszög összegeként számítható ki, ami az eredményhez vezet:
Terület = 2 a 2 (2 + 1) {\displaystyle {\text{terület}}=2a^{2} ({\sqrt {2}}+1)}
Standard koordináták
a szabályos nyolcszög csúcsainak koordinátái a kiindulási középpontban, 2 oldalhosszúsággal a következők:
- (±1, ±(1+√2))
- (±(1+√2), ±1).
boncolás
| 8-kocka vetítés | 24 rombusz boncolás | |
|---|---|---|
 |
 szabályos |
 Izotoxál |
 |
 |
|
Coxeter kijelenti, hogy minden zonogon(egy 2M-gon, amelynek ellentétes oldalai párhuzamosak és azonos hosszúságúak) M (m-1)/2-re bontható parallelograms.In különösen igaz ez az egyenletesen sok oldalú szabályos sokszögekre, ebben az esetben a paralelogrammok mind rombusok. A szabályos nyolcszög esetében m=4, és 6 rombuszra osztható, az alábbi példával. Ez a bomlás úgy tekinthető 6 nak, – nek 24 arcok a Petrie sokszög vetítési síkja a tesseract. A lista (a006245 szekvencia az OEIS-ben) az oldatok számát 8-ként határozza meg, ennek az egy boncolásnak a 8 irányával. Ezeket a négyzeteket és rombákat használják az Ammann-Beenker burkolatokban.
 Tesseract |
 4 rombusz és 2 négyzet |
ferde nyolcszög
a ferde nyolcszög egy ferde sokszög, amelynek 8 csúcsa és éle van, de nem létezik ugyanazon a síkon. Az ilyen nyolcszög belseje általában nincs meghatározva. A ferde cikk-cakk nyolcszög csúcsai váltakoznak két párhuzamos sík között.
a szabályos ferde nyolcszög csúcstranzitív, azonos élhosszúságú. 3 dimenzióban cikk-cakk ferde nyolcszög lesz, és látható egy négyzet alakú antiprizmus csúcsain és oldalszélein, azonos D4d, szimmetria, 16. sorrend.
Petrie-sokszög
a reguláris ferde nyolcszög a Petrie-sokszög ezeknek a magasabb dimenziós szabályos és egyenletes politópoknak, amelyeket az in A7, B4 és D5 Coxeter síkok ferde ortogonális vetületei mutatnak.
| A7 | D5 | B4 | |
|---|---|---|---|
 7-szimplex |
 5-demicube |
 16 cellás |
 Tesseract |
a nyolcszög szimmetriája
 |
a szabályos nyolcszög 11 szimmetriája. A visszaverődések vonalai a csúcsokon keresztül kékek, a széleken lila színűek, a középpontban pedig a girációs sorrendek vannak megadva. A csúcsokat szimmetria helyzetük színezi. |
a szabályos nyolcszög Dih8 szimmetriával rendelkezik, 16.sorrend. 3 dihedrális alcsoport van: Dih4, Dih2 és Dih1, és 4 ciklikus alcsoport: Z8, Z4, Z2 és Z1, az utolsó nem jelent szimmetriát.
 r16 |
||
|---|---|---|
 d8 |
 g8 |
 p8 |
 d4 |
 g4 |
 p4 |
 d2 |
 g2 |
 p2 |
 a1 |
||
a szabályos nyolcszög, vannak 11 különböző szimmetriák. John Conway a teljes szimmetriát r16-nak nevezi. A dihedrális szimmetriák fel vannak osztva attól függően, hogy áthaladnak-e csúcsokon (d átlós) vagy éleken (p merőlegesek esetén) a középső oszlop ciklikus szimmetriáit g-vel jelöljük központi girációs sorrendjükhöz. A szabályos forma teljes szimmetriája r16, és nincs szimmetria A1.
a leggyakoribb magas szimmetriájú nyolcszögek a p8, a négy Tükör által épített izogonális nyolcszög hosszú és rövid éleket váltakozhat, a d8 pedig egyenlő élhosszúságú izotoxális nyolcszög, de a csúcsok két különböző belső szöget váltakoznak. Ez a két forma egymás kettőse,és a szabályos nyolcszög szimmetriarendjének fele.
minden alcsoport szimmetriája egy vagy több szabadságfokot tesz lehetővé a szabálytalan formák számára. Csak a g8 alcsoportnak nincs szabadságfoka, de irányított éleknek tekinthető.
a nyolcszögek felhasználása
a nyolcszögletű alakot az építészet tervezési elemeként használják. A szikla kupolája jellegzetes nyolcszögletű. Az athéni Szelek tornya egy másik példa a nyolcszögletű szerkezetre. A nyolcszögletű terv az egyházi építészetben is szerepelt, mint például a Szent György-székesegyház, Addisz-Abeba, San Vitale-bazilika (Ravennában, Olaszország), Castel del Monte (Puglia, Olaszország), Firenze Keresztelőkápolna, zum Friedef Aposthrsten templom (Németország) és számos nyolcszögletű templom Norvégiában. Az Aacheni székesegyház központi tere, a Karoling Palatinus kápolna szabályos nyolcszögletű alaprajzú. A nyolcszögek felhasználása a templomokban kisebb tervezési elemeket is tartalmaz, például a nyolcszögletű apszis nak, – nek Nidaros székesegyház.
az olyan építészek, mint John Andrews, nyolcszögletű padlólemezeket használtak az épületekben az irodaterületek funkcionális elválasztására az építési szolgáltatásoktól, nevezetesen a Intelsat központja Washington DC-ben, Callam irodák Canberrábanés Octagon irodák Parramatta, Ausztrália.
egyéb felhasználások
-
az esernyők gyakran nyolcszögletűek.
-
a híres Bukhara szőnyeg kialakítása nyolcszögletű” elefánt láb ” motívumot tartalmaz.
-
az utca & a barcelonai Eixample kerület blokkelrendezése nem szabályos nyolcszögeken alapul
-
Janggi nyolcszögletű darabokat használ.
-
a japán lottógépek gyakran nyolcszögletűek.
-
az angol nyelvű országokban, valamint a legtöbb európai országban használt Stop jel
-
egy ikon a stop tábla egy kézzel a közepén.
-
a taoista bagua trigramjai gyakran nyolcszögletesek
-
híres nyolcszögletű Arany Kupa a Belitung hajótörésből
-
a Shimer Főiskola óráit hagyományosan nyolcszögletű asztalok körül tartják
-
a reimsi székesegyház labirintusa kvázi nyolcszög alakú.
-
a Nintendo 64 vezérlő, a GameCube vezérlő, a Wii Nunchuk és a Classic vezérlő analóg botjának mozgását egy elforgatott nyolcszögletű terület korlátozza, így a bot csak nyolc különböző irányba mozoghat.
származtatott adatok
-
a csonka négyzet alakú csempézésnek minden csúcsa körül 2 nyolcszög van.
-
a nyolcszögletű prizma két nyolcszögletű arcot tartalmaz.
-
a nyolcszögletű antiprizmus két nyolcszögletű arcot tartalmaz.
-
a csonka kuboktaéder 6 nyolcszögletű arcot tartalmaz.
kapcsolódó politopok
a nyolcszög, mint csonka négyzet, először csonka hiperkockák sorozatában van:
| kép |  |
  |
  |
  |
  |
  |
  |
… |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| név | nyolcszög | csonka kocka | csonka tesseract | csonka 5-kocka | csonka 6-kocka | csonka 7-kocka | csonka 8-kocka | |
| Coxeter diagram |
|
 |
|
|
|
|
|
|
| csúcs ábra | () v( ) |  () v{ } |
 () v{3} |
 () v{3,3} |
( )v{3,3,3} | ( )v{3,3,3,3} | ( )v{3,3,3,3,3} |
kibővített négyzetként először a kibővített hiperkockák sorozatában is szerepel:
|
  |
  |
  |
  |
  |
  |
… |
| nyolcszög | Rombikuboktaéder | Runcinated tesseract | Stericated 5-cube | Pentelated 6-cube | Hexicated 7-cube | Heptellated 8-cube | |
| |
|
|
|
|
|
|
Lásd még
- lökhárító medence
- nyolcszög ház
- Nyolcszögszám
- Oktagram
- oktaéder, 3D alakú, nyolc arccal.
- Oktogon, egy nagy kereszteződés Budapesten
- Rub el Hizb (más néven Al Quds csillag és okta csillag)
- simított nyolcszög
- ^ Wenninger, Magnus J. (1974), poliéder modellek, Cambridge University Press, 9. o., ISBN 9780521098595.
- ^ a b Dao Thanh Oai (2015), “egyenlő oldalú háromszögek és Kiepert perspektívák komplex számokban”, Forum Geometricorum 15, 105–114. http://forumgeom.fau.edu/FG2015volume15/FG201509index.html
- ^ Weisstein, Eric. “Nyolcszög.”A MathWorld – Től–Egy Wolfram Webes Forrás. http://mathworld.wolfram.com/Octagon.html
- ^ Coxeter, Mathematical recreations and Essays, tizenharmadik kiadás, p.141
- ^ John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, (2008) a dolgok Szimmetriái, ISBN 978-1-56881-220-5 (20.fejezet, általánosított Schaefli szimbólumok, a sokszög szimmetriájának típusai pp. 275-278)
 |
keresse meg a Nyolcszöget a Wikiszótárban, az ingyenes szótár. |
- nyolcszög kalkulátor
- meghatározása és tulajdonságai egy nyolcszög interaktív animáció