Octógono

octógono Regular

Tipo

polígono Regular

Arestas e vértices

Schläfli símbolo

{8}, t{4}

Coxeter–diagramas de Dynkin

grupo de Simetria

Diedro (D8), a fim 2×8

ângulo Interno (graus)

135°

Propriedades de

Convexo, cíclica, equilátero, isogonal, isotoxal

Em geometria, um octógono (do grego ὀκτάγωνον oktágōnon, “oito ângulos”) é um oito lados do polígono ou 8-gon.

um octógono regular tem o símbolo Schläfli {8} e também pode ser construído como um quadrado truncado quasiregular, t{4}, que alterna dois tipos de arestas. Um octógono truncado, t{8} é um hexadecágono, {16}. Um análogo 3D do octógono pode ser o rombicuboctaedro com as faces triangulares como as bordas substituídas, se considerarmos o octógono como um quadrado truncado.

Propriedades gerais octagon

A soma de todos os ângulos internos de qualquer octógono é de 1080°. Tal como acontece com todos os polígonos, os ângulos externos totalizam 360°.

Se praças são construídos todos os internamente ou todos externamente sobre os lados de um octógono, em seguida, os pontos médios dos segmentos de ligar os centros dos quadrados opostos formam um quadrilátero que é equidiagonal e orthodiagonal (isto é, cujas diagonais são iguais em comprimento e em ângulos retos, para o outro).: Apoiar. 9

o octógono do ponto médio de um octógono de referência tem seus oito vértices nos pontos médios dos lados do octógono de referência. Se os quadrados são construídos todos internamente ou todos externamente nos lados do octógono do ponto médio, então os pontos médios dos segmentos que conectam os centros dos próprios quadrados opostos formam os vértices de um quadrado.: Apoiar. 10

octógono Regular

um octógono regular é uma figura fechada com lados do mesmo comprimento e ângulos internos do mesmo tamanho. Possui oito linhas de simetria reflexiva e simetria rotacional de ordem 8. Um octógono regular é representado pelo símbolo Schläfli {8}.O ângulo interno em cada vértice de um octógono regular é de 135° ( 3 π 4 {\displaystyle \scriptstyle {\frac {3\pi }{4}}} radianos). O ângulo central é de 45° ( π 4 {\displaystyle \scriptstyle {\frac {\pi }{4}}} radianos).

área

a área de um octógono regular de comprimento lateral A é dada por

a = 2 berço π π 8 a 2 = 2 ( 1 + 2) a 2 4 4.828 a 2 . {\displaystyle A = 2 \ cot {\frac {\pi} {8}}a^{2}=2(1+{\sqrt {2}}) a^{2}\simeq 4.828\, a^{2}.}

em termos do circumradius R, A área é

A = 4 sin π π 4 R 2 = 2 2 R 2 2 2.828 r 2 . {\displaystyle A=4\sin {\frac {\pi }{4}}R^{2}=2{\sqrt {2}}R^{2}\simeq 2.828\,R^{2}.}

em termos do apotema r (veja também figura inscrita), a área é

A = 8 tan π π 8 r 2 = 8 ( 2 − 1 ) r 2 3 3.314 r 2 . {\displaystyle A=8\tan {\frac {\pi }{8}}r^{2}=8({\sqrt {2}}-1)r^{2}\simeq 3.314\,r^{2}.}

esses dois últimos coeficientes representam o valor de pi, A área do círculo unitário.

a área também pode ser expressa como

A = S 2 − a 2 , {\displaystyle \,\!A = S^{2}-a^{2},}

onde S é a extensão do octógono, ou a segunda diagonal mais curta; e a é o comprimento de um dos lados, ou bases. Isso é facilmente comprovado se a pessoa toma um octógono, desenha um quadrado ao redor de fora (certificando-se de que quatro dos oito lados sobreposição com os quatro lados do quadrado) e, em seguida, toma o canto triângulos (estes são 45-45-90 triângulos) e coloca-los com ângulos retos pontas para dentro, formando um quadrado. As bordas deste quadrado são cada um o comprimento da base.

dado o comprimento de um lado a, o span S é

S = a 2 + a + a 2 = ( 1 + 2 ) a ≈ 2.414 a. {\displaystyle S={\frac {a} {\sqrt {2}}}+a + {\frac {a} {\sqrt {2}}}=(1+{\sqrt {2}}) a \ aprox 2.414 a.}

O período, então, é igual a prata proporção de vezes que o lado a, um.

área é, então, como acima:

A = ( ( 1 + 2 ) a ) 2 − 2 = 2 ( 1 + 2 ) 2 ≈ 4.828 a 2 . {\displaystyle A = (((1+{\sqrt {2}})a)^{2} – a^{2}=2(1+{\sqrt {2}})a^{2}\aprox 4.828 a^{2}.}

expressa em termos de extensão, a área é

A = 2 (2 − 1 ) S 2 ≈ 0,828 s 2 . {\displaystyle A=2 ({\sqrt {2}}-1) s^{2}\approx 0.828 s^{2}.}

outra fórmula simples para a área é

A = 2 A S. {\displaystyle \ A = 2aS.}

mais frequentemente o span S é conhecido, e o comprimento dos lados, a, deve ser determinado, como ao cortar um pedaço quadrado de material em um octógono regular. Do acima,

A ≈ S / 2.414. {\displaystyle A \ approx S/2.414.}

os dois comprimentos finais e de cada lado (os comprimentos das pernas dos triângulos (verde na imagem) truncados do quadrado), Além de serem e = a / 2 , {\displaystyle e=a/{\sqrt {2}},} podem ser calculados como

e = ( S − a ) / 2. {\displaystyle \,\!e = (S-a)/2.}

Circum_raio e inradius

O circum_raio do octógono regular em termos do comprimento do lado a é

R = ( 4 + 2 2 2 ) uma {\displaystyle R=\left({\frac {\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}{2}}\direita),}

e o inradius é

r = ( 1 + 2 2 ) um . {\displaystyle r=\left({\frac {1+{\sqrt {2}}}{2}}\direita).}

(que é a metade da prata proporção vezes o lado, uma, ou metade da amplitude, S)

Diagonais

O octógono regular, em termos do comprimento do lado de um, tem três tipos diferentes de diagonais:

• Curta diagonal;
• Médio diagonal (também chamada de span ou altura), o que é duas vezes o comprimento do inradius;
• diagonal Longa, que é duas vezes o comprimento do circum_raio.

a fórmula para cada um deles segue dos princípios básicos da geometria. Aqui estão as fórmulas para o seu comprimento:

• Curta diagonal: 2 + 2 {\displaystyle uma{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}} ;
• Médio diagonal: ( 1 + 2) {\displaystyle (1+{\sqrt {2}})um} ; (prata proporção de vezes)
• diagonal: 4 + 2 2 {\displaystyle uma{\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}} .

Construção e propriedades elementares

Um octógono regular em um determinado circuncentro pode ser construído da seguinte maneira:

1. Desenhar um círculo e um diâmetro de AOE, onde o é o centro e Um, E são pontos sobre o circuncentro.
2. Desenhe outro diâmetro GOC, perpendicular a AOE.
3. (Observe de passagem que A, C, E, G são vértices de um quadrado).
4. desenhe as bissetrizes dos ângulos retos GOA e EOG, fazendo mais dois diâmetros HOD e FOB.
5. A, B,C,D,E,F,G, H são os vértices do octógono.

um octógono regular pode ser construído usando uma régua e uma bússola, como 8 = 23, uma potência de dois:

o octógono regular pode ser construído com barras meccano. São necessárias doze barras de tamanho 4, Três Barras de tamanho 5 e duas barras de tamanho 6.

cada lado de um octógono regular subtende meio ângulo reto no centro do círculo que conecta seus vértices. Sua área pode, portanto, ser calculada como a soma de 8 triângulos isósceles, levando ao resultado:

Área = 2 2 ( 2 + 1 ) {\displaystyle {\text{Área}}=2^{2}({\sqrt {2}}+1)}

para um octógono de lado a.

Padrão de coordenadas

As coordenadas para os vértices de um octógono regular centrado na origem e com lado de comprimento 2 são:

• (±1, ±(1+√2))
• (±(1+√2), ±1).

Dissecção

8-o cubo de projeção	24 paralelograma de dissecção
	Regular	Isotoxal

Coxeter afirma que todos os zonogon (a 2m-gon cujos lados opostos são paralelos e de mesmo comprimento) pode ser dissecada em m(m-1)/2 paralelogramos.Em particular, isto é verdadeiro para os polígonos regulares com uniforme de muitos lados, caso em que os paralelogramos são todos rhombi. Para o octógono regular, m=4, e pode ser dividido em 6 rhombs, com um exemplo mostrado abaixo. Essa decomposição pode ser vista como 6 de 24 faces em um plano de projeção de polígono de Petrie do tesseract. A lista (sequência A006245 no OEIS) define o número de soluções como 8, pelas 8 orientações desta dissecção. Esses quadrados e losangos são usados nas inclinações Ammann–Beenker.

octógono Regular dissecado

Tesseract

4 rhombs e 2 metros

Inclinação octagon

um octógono inclinado é um polígono inclinado com 8 vértices e arestas, mas não existe no mesmo plano. O interior de tal octógono não é geralmente definido. Um octógono em zigue-zague inclinado tem vértices alternando entre dois planos paralelos.

um octógono de inclinação regular é vertex-transitivo com comprimentos de borda iguais. Em 3 dimensões, será um octógono inclinado em zigue-zague e pode ser visto nos vértices e bordas laterais de um antiprismo quadrado com o mesmo D4D, simetria, ordem 16.

polígonos de Petrie

o octógono de inclinação regular é o polígono de Petrie para esses politopos regulares e uniformes de dimensão superior, mostrados nessas projeções ortogonais de inclinação nos planos Coxeter A7, B4 e D5.

A7	D5	B4
7-simplex	5-demicube	16 células	Tesseract

a Simetria do octógono

Simetria

as 11 simetrias de um octógono regular. Linhas de reflexos são azuis através de vértices, roxas através de bordas e ordens de giro são dadas no centro. Os vértices são coloridos por sua posição de simetria.

o octógono regular tem simetria Dih8, ordem 16. Existem 3 subgrupos diédricos: Dih4, Dih2 e Dih1 e 4 subgrupos cíclicos: Z8, Z4, Z2 e Z1, o último não implicando simetria.

exemplo octógonos por simetria

r16
D8	G8	p8
D4	g4	p4
D2	G2	p2
A1

no octógono regular, existem 11 simetrias distintas. John Conway rotula simetria completa como r16. As simetrias diédricas são divididas dependendo se passam por vértices (d para diagonal) ou arestas (p para perpendiculares) as simetrias cíclicas na coluna do meio são rotuladas como g para suas ordens de giro central. A simetria total da forma regular é r16 e nenhuma simetria é rotulada como a1.Os octógonos de alta simetria mais comuns são p8, um octógono isogonal construído por quatro espelhos pode alternar bordas longas e curtas, e d8, um octógono isotoxal construído com comprimentos de borda iguais, mas vértices alternando dois ângulos internos diferentes. Essas duas formas são duais uma da outra e têm metade da ordem de simetria do octógono regular.

cada simetria de subgrupo permite um ou mais graus de liberdade para formas irregulares. Apenas o subgrupo g8 não tem graus de liberdade, mas pode ser visto como bordas direcionadas.

usos dos octágonos

a forma octogonal é usada como um elemento de design na arquitetura. A Cúpula da Rocha tem um plano octogonal característico. A Torre dos Ventos em Atenas é outro exemplo de estrutura octogonal. O plano octogonal também esteve na arquitetura da Igreja, como Catedral de São Jorge, Adis Abeba, Basílica de San Vitale (em Ravenna, Itália), Castel del Monte (Apúlia, Itália), Batistério de Florença, Igreja zum Friedefürsten (Alemanha) e várias igrejas octogonais na Noruega. O espaço central na Catedral de Aachen, a Capela Palatina Carolíngia, tem uma planta baixa octogonal regular. Os usos dos octágonos nas igrejas também incluem elementos de design menores, como a abside octogonal da Catedral de Nidaros.Arquitetos como John Andrews usaram layouts de piso octogonal em edifícios para separar funcionalmente as áreas de escritórios dos serviços de construção, notadamente a sede da Intelsat em Washington DC, escritórios da Callam em Canberra e escritórios da Octagon em Parramatta, Austrália.

outras utilizações

• 

  os guarda-chuvas geralmente têm um contorno octogonal.

• 

  o famoso design do tapete Bukhara incorpora um motivo octogonal de “pé de elefante”.

• 

  rua & layout em bloco do bairro Eixample de Barcelona é baseado em não-regular octógonos

• 

  Janggi usa peças octogonal.

• 

  as máquinas de loteria Japonesas geralmente têm forma octogonal.

• 

  sinal de Parada utilizado em países de língua inglesa, bem como na maioria dos países Europeus

• 

  Um ícone de um sinal de stop com uma mão no meio.

• 

  Os trigramas da Taoísta bagua são geralmente organizadas octagonally

• 

  Famoso octogonal da taça de ouro de Belitung naufrágio

• 

  Aulas de Shimer Colégio são tradicionalmente realizadas em torno octogonal tabelas

• 

  O Labirinto da Catedral de Reims, com uma quase-forma octogonal.

• 

  O movimento do stick analógico(s) do controle para Nintendo 64, o GameCube, Wii Nunchuk e o Classic Controller é restrito por uma rodada área octogonal, permitindo o stick para mover-se em apenas oito direções diferentes.

Derivada de figuras

• 

  O truncado quadrado de azulejos tem 2 octógonos em torno de cada vértice.
  

• 

  An octogonal prism contains t Icho octogonal faces.
  

• 

  An octogonal antiprism contains t Icho octogonal faces.
  

• 

  O truncado cuboctahedron contém 6 octogonal faces.
  

Relacionados polytopes

octógono, como um tronco de praça, é o primeiro de uma seqüência de truncado hypercubes:

Truncado hypercubes

Imagem								…
Nome	Octagon	cubo Truncado	Truncado tesseract	Truncado 5-cubo	Truncado 6-cubo	Truncado 7-cubo	Truncado 8-cubo
Coxeter diagrama
Vértice figura	( )v( )	() v{ }	() v{3}	( )v{3,3}	( )v{3,3,3}	( )v{3,3,3,3}	( )v{3,3,3,3,3}

Como uma ampliação da praça, que é também o primeiro de uma seqüência expandida hypercubes:

hipercubos expandidos

							…
Octagon	Rhombicuboctahedron	Runcinated tesseract	Stericated 5-cubo	Pentellated 6-cubo	Hexicated 7-cubo	Heptellated 8-cubo

Ver também

• pára-choques piscina
• Octagon house
• Octogonal número
• Octagram
• Octaedro, formato 3D, com oito faces.
• Oktogon, um grande cruzamento em Budapeste, Hungria
• Rub el Hizb (também conhecido como Al Quds Estrelas e como Octa Estrelas)
• Suavizada octagon

Procurar octógono no Wikcionário, o dicionário livre.

• Octagon Calculadora
• Definição e propriedades de um octógono Com a animação interativa