Octogon

octogon regulat

Tip

poligon regulat

margini și vârfuri

Schl simbol

{8}, t{4}

diagrame Coxeter-Dynkin

grup de simetrie

diedru (D8), ordin 2×8

unghi intern (grade)

135°

proprietăți

Convex, ciclic, echilateral, izogonal, izotoxal

în geometrie, un octogon (de la grecescul okt oktg oktnon, „opt unghiuri”) este un poligon cu opt fețe sau 8-gon.

un octogon obișnuit are simbolul Schl Inktiffli {8} și poate fi, de asemenea, construit ca un pătrat trunchiat cvasiregular, t{4}, care alternează două tipuri de margini. Un octogon trunchiat, t{8} este un hexazecagon, {16}. Un analog 3D al octogonului poate fi rombicuboctaedrul cu fețele triunghiulare pe el ca marginile înlocuite, dacă se consideră că octogonul este un pătrat trunchiat.

proprietățile octogonului general

suma tuturor unghiurilor interne ale oricărui octogon este de 1080 octogon. La fel ca în cazul tuturor poligoanelor, unghiurile externe totalizează 360 de metri pătrați.

dacă pătratele sunt construite toate intern sau toate extern pe laturile unui octogon, atunci punctele medii ale segmentelor care leagă centrele pătratelor opuse formează un patrulater care este atât echidiagonal, cât și ortodiagonal (adică ale căror diagonale sunt egale în lungime și în unghi drept între ele).: Prop. 9

octogonul punctului mediu al unui octogon de referință are cele opt vârfuri ale sale la punctele medii ale laturilor octogonului de referință. Dacă pătratele sunt construite toate intern sau toate extern pe laturile octogonului punctului mediu, atunci punctele medii ale segmentelor care leagă centrele pătratelor opuse formează ele însele vârfurile unui pătrat.: Prop. 10

octogon regulat

un octogon regulat este o figură închisă cu laturi de aceeași lungime și unghiuri interne de aceeași dimensiune. Are opt linii de simetrie reflectorizantă și simetrie de rotație de ordinul 8. Un octogon obișnuit este reprezentat de simbolul Schl Xvfli {8}.Unghiul intern la fiecare vârf al unui octogon regulat este de 135 de octogoni (3 de 4 de octogoni {\displaystyle \ scriptstyle {\frac {3 \ pi }{4}}} radiani). Unghiul central este de 45% (4% {\displaystyle \ scriptstyle {\frac {\pi }{4}}} radiani).

arie

aria unui octogon obișnuit cu lungimea laturii a este dată de

a = 2 cot 8 a 2 = 2 ( 1 + 2 ) a 2 4.828 a 2 . {\displaystyle A=2 \ cot {\frac {\pi} {8}} a^{2}=2(1+{\sqrt {2}}) a^{2} \ simeq 4.828\, a^{2}.}

din punct de vedere al circumradiului R, aria este

a = 4 sin 4 R 2 = 2 2 R 2 x 2.828 R 2 . {\displaystyle A = 4 \ sin {\frac {\pi }{4}}R^{2} = 2{\sqrt {2}}R^{2}\simeq 2.828\,r^{2}.}

din punct de vedere al apotemului r (A se vedea și figura înscrisă), aria este

a = 8 tan, 8 R 2 = 8 ( 2 − 1 ) R 2, 3.314 r 2 . {\displaystyle A = 8 \ tan {\frac {\pi} {8}}R^{2} = 8 ({\sqrt {2}}-1)r^{2}\simeq 3.314\,r^{2}.}

acești ultimi doi coeficienți reprezintă valoarea lui pi, aria cercului unitar.

zona poate fi exprimată și ca

A = S 2 − a 2 , {\displaystyle \,\!A = S^{2}-a^{2},}

unde S este întinderea octogonului sau a doua diagonală cea mai scurtă; și a este lungimea uneia dintre laturi sau baze. Acest lucru este ușor de dovedit dacă cineva ia un octogon, desenează un pătrat în jurul exteriorului (asigurându-se că patru din cele opt laturi se suprapun cu cele patru laturi ale pătratului) și apoi ia triunghiurile de colț (acestea sunt triunghiuri 45-45-90) și le plasează cu unghiuri drepte îndreptate spre interior, formând un pătrat. Marginile acestui pătrat sunt fiecare lungimea bazei.

având în vedere lungimea unei laturi a, intervalul S este

s = a 2 + a + a 2 = ( 1 + 2 ) a 2.414 a . {\displaystyle S = {\frac {a} {\sqrt {2}}}+a + {\frac {a} {\sqrt {2}}}=(1+{\sqrt {2}}) a\aprox 2.414 a.}

intervalul, atunci, este egal cu raportul de argint ori partea, a.

zona este apoi ca mai sus:

A = ( ( 1 + 2 ) a ) 2 − a 2 = 2 ( 1 + 2 ) a 2 XT 4.828 a 2 . {\displaystyle A = ((1+{\sqrt {2}})a)^{2}-a^{2}=2(1+{\sqrt {2}}) a^{2}\aproximativ 4.828 a^{2}.}

exprimată în termeni de interval, suprafața este

A = 2 ( 2 − 1 ) S 2 0,828 S 2 . {\displaystyle A = 2 ({\sqrt {2}}-1) s^{2}\aproximativ 0,828 s^{2}.}

o altă formulă simplă pentru zonă este

A = 2 A S . {\displaystyle \ A=2aS.}

mai des se cunoaște întinderea S, iar lungimea laturilor, a, trebuie determinată, ca atunci când se taie o bucată pătrată de material într-un octogon obișnuit. Din cele de mai sus,

a s / 2.414. {\displaystyle A \ aprox S / 2.414.}

cele două lungimi de capăt e pe fiecare parte (lungimile picioarelor triunghiurilor (verde în imagine) trunchiate din pătrat), precum și e = a / 2 , {\displaystyle e=a/{\sqrt {2}},} pot fi calculate ca

e = ( s − a ) / 2. {\displaystyle\,\!e=(S-a) / 2.}

Circumradius și inradius

circumradiul octogonului regulat în ceea ce privește lungimea laturii a este

R = ( 4 + 2 2 2 ) a, {\displaystyle R=\stânga ({\frac {\sqrt {4 + 2 {\sqrt {2}}}}{2}}\dreapta) a,}

și inradius este

r = ( 1 + 2 2 ) a . {\displaystyle r = \ stânga ({\frac {1 + {\sqrt {2}}}{2}}\dreapta) a.}

(adică jumătate din raportul de argint ori latura, a sau jumătate din interval, S)

diagonale

octogonul obișnuit, în ceea ce privește lungimea laturii a, are trei tipuri diferite de diagonale:

• diagonală scurtă;
• diagonală medie (numită și span sau înălțime), care este de două ori lungimea inradiului;
• diagonală lungă, care este de două ori lungimea circumradiului.

formula pentru fiecare dintre ele rezultă din principiile de bază ale geometriei. Iată formulele pentru lungimea lor:

• diagonală scurtă: a 2 + 2 {\displaystyle a {\sqrt {2 + {\sqrt {2}}}}} ;
• diagonală medie: ( 1 + 2 ) a{\displaystyle (1+{\sqrt {2}})a} ; (raport de argint ori a)
• diagonală lungă: a 4 + 2 2 {\displaystyle a {\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}} .

Construcții și proprietăți elementare

un octogon regulat la un circumcirc dat poate fi construit după cum urmează:

1. desenați un cerc și un diametru AOE, unde O este centrul și A, E sunt puncte pe circumcerc.
2. desenați un alt diametru GOC, perpendicular pe AOE.
3. (notați în treacăt că A,C,E,G sunt vârfuri ale unui pătrat).
4. desenați bisectoarele unghiurilor drepte GOA și EOG, făcând încă două diametre HOD și FOB.
5. A,B,C,D,E,F,G,H sunt vârfurile octogonului.

un octogon obișnuit poate fi construit folosind o linie dreaptă și o busolă, ca 8 = 23, o putere de două:

octogonul obișnuit poate fi construit cu bare meccano. Sunt necesare douăsprezece bare de dimensiunea 4, trei bare de dimensiunea 5 și două bare de dimensiunea 6.

fiecare parte a unui octogon regulat subtinde o jumătate de unghi drept în centrul cercului care leagă vârfurile sale. Aria sa poate fi astfel calculată ca suma a 8 triunghiuri isoscele, ducând la rezultat:

Area = 2 a 2 (2 + 1) {\displaystyle {\text {Area}} = 2A^{2} ({\sqrt {2}}+1)}

pentru un octogon al laturii a.

coordonate Standard

coordonatele pentru vârfurile unui octogon regulat centrat la origine și cu lungimea laturii 2 sunt:

• (±1, ±(1+√2))
• (±(1+√2), ±1).

disecție

8-proiecție cub	24 romb disecție
	regulat	Izotoxic

Coxeter afirmă că fiecare zonogon (un 2M-gon ale cărui laturi opuse sunt paralele și de lungime egală) poate fi disecat în m (m-1) / 2 parallelograms.In special acest lucru este valabil pentru poligoane regulate cu multe laturi uniform, caz în care paralelogramele sunt toate rombi. Pentru octogonul obișnuit, m = 4 și poate fi împărțit în 6 romburi, cu un exemplu prezentat mai jos. Această descompunere poate fi văzută ca 6 din 24 de fețe într-un plan de proiecție a poligonului Petrie al teseractului. Lista (secvența a006245 din OEIS) definește numărul de soluții ca 8, prin cele 8 orientări ale acestei disecții. Aceste pătrate și romburi sunt utilizate în plăcile Ammann–Beenker.

octogon regulat disecat

Teseract

4 romburi și 2 pătrat

octogon oblic

un octogon oblic este un poligon oblic cu 8 vârfuri și muchii, dar care nu există pe același plan. Interiorul unui astfel de octogon nu este în general definit. Un octogon oblic în zig – zag are vârfuri alternând între două planuri paralele.

un octogon oblic obișnuit este vertex-tranzitiv cu lungimi egale ale marginilor. În 3 dimensiuni va fi un octogon oblic în zig-zag și poate fi văzut în vârfurile și marginile laterale ale unui Antiprism pătrat cu același D4d, simetrie, ordinul 16.

poligoane Petrie

octogonul oblic regulat este poligonul Petrie pentru acești politopi regulari și uniformi de dimensiuni superioare, prezentat în aceste proiecții ortogonale oblice ale planurilor Coxeter A7, B4 și D5.

A7	D5	B4
7-simplex	5-demicub	16 celule	Tesseract

simetria octogonului

simetrie

cele 11 simetrii ale unui octogon regulat. Liniile de reflecții sunt albastre prin vârfuri, violet prin margini, iar ordinele de girație sunt date în centru. Vârfurile sunt colorate prin poziția lor de simetrie.

octogonul obișnuit are simetrie Dih8, ordinul 16. Există 3 subgrupuri diedrice: Dih4, Dih2 și Dih1 și 4 subgrupuri ciclice: Z8, Z4, Z2 și Z1, ultimul implicând nicio simetrie.

exemplu octogoni prin simetrie

r16
d8	g8	p8
d4	g4	p4
d2	G2	p2
a1

pe octogonul obișnuit, există 11 simetrii distincte. John Conway etichetează simetria completă ca r16. Simetriile diedrice sunt împărțite în funcție de trecerea prin vârfuri (d pentru diagonală) sau margini (p pentru perpendiculare) simetriile ciclice din coloana din mijloc sunt etichetate ca g pentru ordinele lor de girație centrală. Simetria completă a formei regulate este r16 și nicio simetrie nu este etichetată a1.

cele mai frecvente octogoane de înaltă simetrie sunt p8, un octogonal izogonal Construit din patru oglinzi poate alterna marginile lungi și scurte și d8, un octogon izotoxal construit cu lungimi egale ale marginilor, dar vârfurile alternând două unghiuri interne diferite. Aceste două forme sunt duale între ele și au jumătate din ordinea de simetrie a octogonului regulat.

fiecare simetrie a subgrupului permite unul sau mai multe grade de libertate pentru formele neregulate. Numai subgrupul g8 nu are grade de libertate, dar poate fi văzut ca margini direcționate.

utilizări ale octogonilor

forma octogonală este utilizată ca element de design în arhitectură. Cupola Stâncii are un plan octogonal caracteristic. Turnul vânturilor din Atena este un alt exemplu de structură octogonală. Gheorghe, Addis Abeba, Bazilica San Vitale (în Ravenna, Italia), Castel del Monte (Apulia, Italia), Baptisteriul din Florența, Biserica zum Friedef Oktocrsten (Germania) și o serie de biserici octogonale din Norvegia. Spațiul central din Catedrala Aachen, Capela Palatină Carolingiană, are un plan octogonal regulat. Utilizările octogonilor în biserici includ, de asemenea, elemente de design mai mici, cum ar fi absida octogonală a Catedralei Nidaros.

arhitecți precum John Andrews au folosit amenajări octogonale în clădiri pentru separarea funcțională a zonelor de birouri de serviciile de construcții, în special sediul Intelsat din Washington D. C., birourile Callam din Canberra și birourile Octagon Din Parramatta, Australia.

alte utilizări

• 

  umbrelele au adesea un contur octogonal.

• 

  celebrul design de covor Bukhara încorporează un motiv octogonal „picior de elefant”.

• 

  strada & aspectul blocului din districtul Eixample din Barcelona se bazează pe octogoane neregulate

• 

  Janggi folosește piese octogonale.

• 

  mașinile de loterie japoneze au adesea formă octogonală.

• 

  semn de oprire utilizat în țările vorbitoare de limbă engleză, precum și în majoritatea țărilor europene

• 

  o pictogramă a unui semn de oprire cu o mână la mijloc.

• 

  trigramele bagua taoiste sunt adesea aranjate octagonal

• 

  faimoasa ceașcă de aur octogonală din naufragiul Belitung

• 

  clasele de la Shimer College se desfășoară în mod tradițional în jurul meselor octogonale

• 

  labirintul Catedralei Reims cu o formă cvasi-octogonală.

• 

  mișcarea stick-urilor analogice ale controlerului Nintendo 64, controlerului GameCube, Wii Nunchuk și controlerului clasic este restricționată de o zonă octogonală rotită, permițând stick-ului să se deplaseze în doar opt direcții diferite.

cifre derivate

• 

  tigla pătrată trunchiată are 2 octogoni în jurul fiecărui vârf.
  

• 

  o prismă octogonală conține două fețe octogonale.
  

• 

  un antiprism octogonal conține două fețe octogonale.
  

• 

  cuboctaedrul trunchiat conține 6 fețe octogonale.
  

politopi înrudiți

octogonul, ca pătrat trunchiat, este primul într-o secvență de hipercuburi trunchiate:

hipercuburi trunchiate

imagine								…
nume	octogon	cub trunchiat	tesseract trunchiat	trunchiat 5-cub	trunchiat 6-cub	trunchiat 7-cub	trunchiat 8-cub
diagrama Coxeter
Vertex figura	() v( )	() v{ }	() v{3}	() v{3,3}	( )v{3,3,3}	( )v{3,3,3,3}	( )v{3,3,3,3,3}

ca pătrat extins, este, de asemenea, primul într-o secvență de hipercuburi extinse:

Hipercuburi extinse

							…
Octagon	Rombicuboctaedru	teseract Runcinat	Stericat 5-cub	Pentelat 6-cub	Hexicat 7-cub	Heptelat 8-cub

a se vedea, de asemenea,

• Piscina barei de protecție
• Casa octogonului
• număr octogonal
• Octagram
• octaedru, formă 3D cu opt fețe.
• Oktogon, o intersecție majoră în Budapesta, Ungaria
• Rub el Hizb (cunoscut și sub numele de Steaua Al Quds și ca steaua Octa)
• octogon netezit

căutați octagon în Wikționar, dicționarul liber.

• Octagon Calculator
• definiția și proprietățile unui octogon cu animație interactivă