fotboll fysik

• Ball Drag

följande artikel forskar fotboll fysik publicerades först i Physics World magazine, juni 1998 pp25–27.

Fotbollsfysiken

Bill Shankly, tidigare chef för Liverpool football club, sa en gång: ”fotboll handlar inte om liv eller död. Det är viktigare än så.”Den här månaden vid VM i Frankrike kommer miljontals fotbollsfans att få samma känsla under några korta veckor. Då kommer händelsen att vara över, och allt som kommer att förbli kommer att vara några upprepningar på TV och de oändliga spekulationerna om vad som kan ha hänt.

det är denna aspekt av fotboll som dess fans älskar, och andra hatar. Tänk om straffet hade gått in? Tänk om spelaren inte hade blivit utvisad? Tänk om den frisparken inte hade böjt sig runt väggen och gått in för ett mål?

många fans kommer ihåg frisparken som den brasilianska Roberto Carlos tog i en turnering i Frankrike förra sommaren. Bollen placerades ca 30 m från motståndarnas mål och något till höger. Carlos slog bollen så långt till höger att den ursprungligen rensade försvararnas vägg med minst en meter och gjorde en bollpojke, som stod meter från målet, anka huvudet. Sedan, nästan magiskt, böjde bollen till vänster och gick in i det övre högra hörnet av målet-till förvåning av spelare, målvakten och media.

tydligen övade Carlos denna spark hela tiden på träningsplatsen. Han visste intuitivt hur man böjde bollen genom att slå den med en viss hastighet och med en viss snurrning. Han visste förmodligen inte fysiken bakom allt.

aerodynamik av sportbollar

den första förklaringen av sidoböjningen av ett snurrande föremål krediterades av Lord Rayleigh till arbete som utförts av den tyska fysikern Gustav Magnus 1852. Magnus hade faktiskt försökt ta reda på varför snurrande skal och kulor avböjer åt sidan, men hans förklaring gäller lika bra för bollar. Faktum är att den grundläggande mekanismen för en böjd boll i fotboll är nästan densamma som i andra sporter som baseball, golf, cricket och tennis.

snurrande boll

Tänk på en boll som snurrar runt en axel vinkelrätt mot luftflödet över den (se vänster). Luften färdas snabbare i förhållande till mitten av bollen där periferin av bollen rör sig i samma riktning som luftflödet. Detta minskar trycket, enligt Bernouillis princip.

den motsatta effekten händer på andra sidan bollen, där luften färdas långsammare i förhållande till mitten av bollen. Det finns därför en obalans i krafterna och bollen avböjer – eller, som Sir J J Thomson uttryckte det 1910, ”bollen följer näsan”. Denna laterala avböjning av en boll under flygning är allmänt känd som ”Magnus-effekten”.

krafterna på en snurrande boll som flyger genom luften är vanligtvis uppdelade i två typer: en lyftkraft och en dragkraft. Lyftkraften är den uppåt-eller sidokraft som är ansvarig för Magnus-effekten. Dragkraften verkar i motsatt riktning mot bollens väg.

låt oss beräkna krafterna på jobbet i en väl tagen frispark. Förutsatt att bollens hastighet är 25-30 ms-1 (ca 70 mph) och att snurret är ca 8-10 varv per sekund, visar sig lyftkraften vara ca 3,5 N.

reglerna säger att en professionell fotboll måste ha en massa på 410-450 g, vilket innebär att den accelererar med ca 8 ms-2. Och eftersom bollen skulle vara i flygning i 1 s över sin 30 m bana, kan lyftkraften göra att bollen avviker med så mycket som 4 m från sin normala raka kurs. Nog att besvära någon målvakt!

dragkraften, FD, på en boll ökar med kvadraten av hastigheten, v, förutsatt att densiteten, r, av bollen och dess tvärsnittsarea, a, förblir oförändrad: FD = CDrAv2/2. Det verkar emellertid att ”dragkoefficienten”, CD, också beror på bollens hastighet.

till exempel, om vi plottar dragkoefficienten mot Reynolds nummer – en icke-dimensionell parameter som är lika med rv D /megapixlar, där D är kulans diameter och den kinematiska viskositeten hos luften – finner vi att dragkoefficienten sjunker plötsligt när luftflödet vid kulans yta ändras från att vara slät och laminärt till att vara turbulent (se höger).

när luftflödet är laminärt och dragkoefficienten är hög ”separerar” gränsskiktet på bollens yta relativt tidigt när det flyter över bollen och producerar virvlar i kölvattnet. Men när luftflödet är turbulent fastnar gränsskiktet på bollen längre. Detta ger sen separation och ett litet drag.

Reynolds tal vid vilket dragkoefficienten sjunker beror därför på kulans ytjämnhet. Till exempel har golfbollar, som är kraftigt dimpled, en ganska hög ytjämnhet och dragkoefficienten sjunker vid ett relativt lågt Reynolds nummer (~ 2 x 104). En fotboll är dock mjukare än en golfboll och den kritiska övergången uppnås med ett mycket högre Reynolds nummer (~ 4 x 105).

Drag vs Speed

resultatet av allt detta är att en långsam fotboll upplever en relativt hög retarderande kraft. Men om du kan slå bollen tillräckligt snabbt så att luftflödet över det är turbulent, upplever bollen en liten retarderande kraft (se höger). En snabbrörlig fotboll är därför dubbelt problem för en målvakt som hoppas kunna spara – inte bara rör bollen i hög hastighet, det saktar inte heller så mycket som man kan förvänta sig. Kanske förstår de bästa målvakterna intuitivt mer fotbollsfysik än de inser.

1976 genomförde Peter Bearman och kollegor från Imperial College, London, en klassisk serie experiment på golfbollar. De fann att en ökning av snurret på en boll gav en högre lyftkoefficient och därmed en större Magnus-kraft. Att öka hastigheten vid en given snurr minskade dock lyftkoefficienten.

vad detta betyder för en fotboll är att en långsam boll med mycket snurr kommer att ha en större sidokraft än en snabbrörlig boll med samma snurr. Så när en boll saktar ner i slutet av sin bana blir kurvan mer uttalad.

Roberto Carlos revisited

hur förklarar allt detta frisparken som Roberto Carlos tagit? Även om vi inte kan vara helt säkra, är följande förmodligen en rättvis förklaring av vad som hände.

Carlos sparkade bollen med utsidan av sin vänstra fot för att få den att snurra moturs när han tittade ner på den. Förhållandena var torra, så mängden snurr han gav bollen var hög, kanske över 10 varv per sekund. Att sparka den med utsidan av foten gjorde det möjligt för honom att slå bollen hårt, förmodligen över 30 ms-1 (70 mph).

luftflödet över bollens yta var turbulent, vilket gav bollen en relativt låg mängd drag. Något sätt in i sin väg-kanske runt 10 m-märket (eller vid ungefär Försvarets vägg) – sjönk bollens hastighet så att den kom in i laminärflödesregimen.

detta ökade avsevärt drag på bollen, vilket gjorde att den saktade ner ännu mer. Detta gjorde det möjligt för den sidledes Magnus force, som böjde bollen mot målet, att träda i kraft ännu mer. Förutsatt att mängden spinn inte hade förfallit för mycket, ökade dragkoefficienten.

detta introducerade en ännu större sidokraft och fick bollen att böja sig ytterligare. Slutligen, när bollen saktade, blev böjningen mer överdriven fortfarande (möjligen på grund av ökningen av lyftkoefficienten) tills den slog på baksidan av nätet – mycket till glädje för fysikerna i publiken.

aktuell forskning om fotbollsrörelse

det finns mer till fotbollsforskning än att bara studera bollens rörelse under flygning. Forskare är också intresserade av att ta reda på hur en fotbollsspelare faktiskt sparkar en boll. Till exempel har Stanley Plagenhof från University of Massachusetts i USA studerat kinematiken att sparka – med andra ord ignorerar de involverade krafterna. Andra forskare, som Elizabeth Roberts och medarbetare vid University of Wisconsin, har gjort dynamiska analyser av sparkning, med hänsyn till de involverade krafterna.

dessa experimentella tillvägagångssätt har gett några utmärkta resultat, även om många utmaningar fortfarande kvarstår. Ett av de mest kritiska problemen är svårigheten att mäta människors fysiska rörelse, delvis för att deras rörelser är så oförutsägbara. De senaste framstegen när det gäller att analysera rörelse med datorer har dock väckt stor uppmärksamhet inom idrottsvetenskap, och med hjälp av nya vetenskapliga metoder är det nu möjligt att göra rimligt noggranna mätningar av mänsklig rörelse.

till exempel har två av författarna (TA och TA) och ett forskargrupp vid Yamagata University i Japan använt ett beräkningsvetenskapligt tillvägagångssätt i kombination med de mer konventionella dynamiska metoderna för att simulera hur spelare sparkar en boll. Dessa simuleringar har möjliggjort skapandet av” virtuella ” fotbollsspelare av olika slag – från nybörjare och småbarn till proffs – för att spela i virtuellt utrymme och tid på datorn.

sportutrustningstillverkare, som ASICS Corporation, som sponsrar Yamagata-projektet, är också intresserade av arbetet. De hoppas kunna använda resultaten för att designa säkrare och högre prestanda sportutrustning som kan göras snabbare och mer ekonomiskt än befintliga produkter.

hur man böjer en boll

spelarnas rörelse följdes med höghastighetsvideo med 4500 bilder per sekund, och fotens inverkan på bollen studerades sedan med finita elementanalys. De första experimenten visade vad de flesta fotbollsspelare vet: om du slår bollen rakt på med vristen så att foten träffar bollen i linje med bollens tyngdpunkt, skjuter bollen av i en rak linje. Men om du sparkar bollen med fotens framsida och med vinkeln mellan benet och foten vid 90 kcal (se vänster) kommer den att kurva under flygning. I detta fall är effekten utanför centrum. Detta får den applicerade kraften att fungera som ett vridmoment, vilket därför ger bollen en snurrning.

de experimentella resultaten visade också att snurret som plockas upp av bollen är nära relaterat till friktionskoefficienten mellan foten och bollen och till fotens förskjutna avstånd från bollens tyngdpunkt. En finita elementmodell av fotens inverkan på bollen, skriven med DYTRAN och PATRAN-programvara från MacNeal Schwendler Corporation, användes för att numeriskt analysera dessa händelser. Denna studie visade att en ökning av friktionskoefficienten mellan bollen och foten orsakade att bollen fick mer spinn. Det var också mer snurr om förskjutningsläget var längre från tyngdpunkten.

två andra intressanta effekter observerades. För det första, om förskjutningsavståndet ökade, rörde foten bollen under en kortare tid och över ett mindre område, vilket fick både snurrningen och hastigheten på bollen att minska. Det finns därför en optimal plats att slå bollen om du vill ha maximal snurr: om du träffar bollen för nära eller för långt från tyngdpunkten kommer den inte att få någon snurr alls.

den andra intressanta effekten var att även om friktionskoefficienten är noll, får bollen fortfarande lite snurr om du sparkar den med en förskjutning från tyngdpunkten . Även om det i detta fall inte finns någon perifer kraft parallellt med bollens omkrets (eftersom friktionskoefficienten är noll), deformeras bollen ändå mot dess centrum, vilket medför att viss kraft verkar runt tyngdpunkten. Det är därför möjligt att snurra en fotboll på en regnig dag, även om snurret blir mycket mindre än om förhållandena var torra.

naturligtvis har analysen flera begränsningar. Luften utanför bollen ignorerades, och det antogs att luften inuti bollen uppförde sig enligt en komprimerande, viskös vätskeflödesmodell. Helst bör luften både inuti och utanför bollen inkluderas, och viskositeterna modelleras med hjälp av Navier-Stokes ekvationer.

det antogs också att foten var homogen, när det är uppenbart att en riktig fot är mycket mer komplicerad än detta. Även om det skulle vara omöjligt att skapa en perfekt modell som tog hänsyn till alla faktorer, innehåller denna modell de viktigaste funktionerna.

med tanke på framtiden planerar två av oss (TA och TA) också att undersöka effekten av olika typer av skor på sparkning av en boll. Samtidigt kombinerar ASICS Yamagata finite-element simuleringar med biomekanik, fysiologi och materialvetenskap för att designa nya typer av fotbollsskor. I slutändan är det dock fotbollsspelaren som gör skillnaden – och utan förmåga är tekniken värdelös.

slutsignalen

vad kan vi lära oss av Roberto Carlos? Om du sparkar bollen tillräckligt hårt för att luftflödet över ytan blir turbulent, förblir dragkraften liten och bollen kommer verkligen att flyga. Om du vill att bollen ska kurva, ge den massor av snurr genom att slå den utanför mitten. Detta är lättare på en torr dag än på en våt dag, men kan fortfarande göras oavsett förhållanden.

bollen kommer att kurva mest när den saktar ner i laminärflödesregimen, så du måste öva för att se till att denna övergång sker på rätt plats – till exempel strax efter att bollen har passerat en defensiv vägg. Om förhållandena är våta kan du fortfarande snurra, men du skulle vara bättre att torka bollen (och dina stövlar).

för nästan 90 år sedan höll J J Thomson en föreläsning på Royal Institution i London om dynamiken i golfbollar. Han Citeras för att säga följande: ”Om vi kunde acceptera förklaringar av beteendet hos bollen ges av många bidragsgivare till mycket omfattande litteratur som har samlats runt spelet…jag skulle behöva ta innan du i kväll en ny dynamik, och tillkännage att frågan, när den består till bollar lyder lagar av en helt annan karaktär än de som styr dess handling när i alla andra förhållanden.”

i fotboll kan vi åtminstone vara säkra på att saker och ting har gått vidare.

vidare läsning
https://physicsworld.com/a/the-physics-of-football/

C B Daish 1972 fysiken i bollspel (den engelska University Press, London)

sj Haake (ed) 1996 teknik för idrott (A A Balkema, Rotterdam)

R D Mehta 1985 aerodynamik av sport bollar Ann. Rev. Fluid Mech. 17 151-189

frågor om tryck och fotbollar