Octagon

vanlig oktagon

Typ

vanlig polygon

kanter och hörn

Schl

{8}, t{4}

Coxeter-Dynkin diagram

symmetri grupp

Dihedral (D8), ordning 2×8

inre vinkel (grader)

135°

egenskaper

konvex, cyklisk, liksidig, isogonal, isotoxal

en vanlig oktagon har Schl Excepifli symbol {8} och kan också konstrueras som en kvasiregulär stympad kvadrat, t{4}, som alternerar två typer av kanter. En stympad oktagon, t{8} är en hexadekagon, {16}. En 3D-analog av oktagonen kan vara rhombicuboctahedronen med de triangulära ytorna på den som de ersatta kanterna, om man anser att oktagonen är en stympad kvadrat.

egenskaper hos den allmänna oktagonen

summan av alla inre vinklar av någon oktagon är 1080 kcal. Som med alla polygoner, de yttre vinklarna totalt 360 kcal.

om kvadrater är konstruerade alla internt eller alla externt på sidorna av en åttkant, bildar mittpunkterna för segmenten som förbinder centren för motsatta kvadrater en fyrkant som är både ekvidiagonal och ortodiagonal (det vill säga vars diagonaler är lika långa och i rät vinkel mot varandra).: Prop. 9

mittpunkten oktagon av en referens oktagon har sina åtta hörn vid mittpunkterna på sidorna av referens oktagon. Om kvadrater är konstruerade alla internt eller alla externt på sidorna av mittpunktens oktagon, bildar mittpunkterna för segmenten som förbinder centren av motsatta kvadrater själva en kvadrats hörn.: Prop. 10

regelbunden oktagon

en vanlig oktagon är en sluten figur med sidor av samma längd och inre vinklar av samma storlek. Den har åtta linjer med reflekterande symmetri och rotationssymmetri i ordning 8. En vanlig oktagon representeras av Schl Jacobfli-symbolen {8}.Den inre vinkeln vid varje toppunkt i en vanlig oktagon är 135 kg (3 kg 4 {\displaystyle \ scriptstyle {\frac {3 \ pi }{4}}} radianer). Den centrala vinkeln är 45 kg (4 {\displaystyle \ scriptstyle {\frac {\pi }{4}}} radianer).

Area

området för en vanlig oktagon av sidolängd a Ges av

a = 2 cot-2cabi 8 a 2 = 2 ( 1 + 2 ) a 2cabi 4.828 a 2 . {\displaystyle A = 2\cot {\frac {\pi }{8}}a^{2}=2(1+{\sqrt {2}}) a^{2} \ simeq 4.828\, a^{2}.}

när det gäller circumradius R är området

a = 4 synd 60 r 2 = 2 2 R 2 2 2 2 2 2 828 r 2 . {\displaystyle A=4 \ sin {\frac {\pi }{4}}r^{2} = 2{\sqrt {2}}r^{2}\simeq 2.828\,R^{2}.}

när det gäller apothem r (se även inskriven figur ) är området

a = 8 tan 8 r 2 = 8 ( 2 − 1) r 2 3,314 r 2 . {\displaystyle A=8 \ tan {\frac {\pi }{8}}r^{2} = 8 ({\sqrt {2}}-1)r^{2}\simeq 3.314\,r^{2}.}

dessa två sista koefficienter håller värdet på pi, området för enhetscirkeln.

området kan också uttryckas som

A = S 2 − a 2 , {\displaystyle \,\!A = S^{2} – a^{2},}

där S är åttkantens spännvidd eller den näst kortaste diagonalen; och a är längden på en av sidorna eller baserna. Detta är lätt bevisat om man tar en oktagon, drar en fyrkant runt utsidan (se till att fyra av de åtta sidorna överlappar varandra med fyrkantens fyra sidor) och sedan tar hörntrianglarna (dessa är 45-45-90 trianglar) och placerar dem med rät vinklar pekade inåt och bildar en fyrkant. Kanterna på denna kvadrat är vardera längden på basen.

med tanke på längden på en sida A är spännvidden s

S = a 2 + a + a 2 = ( 1 + 2 ) a 2,414 a . {\displaystyle S={\frac {a} {\sqrt {2}}} + a + {\frac {a} {\sqrt {2}}}=(1+{\sqrt {2}}) a \ ca 2.414 a.}

spännvidden är då lika med silverförhållandet gånger sidan, a.

området är då som ovan:

A = ( ( 1 + 2 ) a ) 2 − a 2 = 2 ( 1 + 2 ) a 2 2 4,828 a 2 . {\displaystyle A=((1+{\sqrt {2}})a)^{2} – a^{2}=2(1+{\sqrt {2}}) a^{2}\ca 4.828 a^{2}.}

uttryckt i termer av spännvidden är området

A = 2 ( 2 − 1 ) S 2 0,828 0,828 s 2 . {\displaystyle A = 2 ({\sqrt {2}}-1)s^{2}\ca 0,828 S^{2}.}

en annan enkel formel för området är

A = 2 a S . {\displaystyle \ A = 2aS.}

oftare är spännvidden s känd, och längden på sidorna, a, ska bestämmas, som vid skärning av ett fyrkantigt material i en vanlig åttkant. Av ovanstående,

en 2.414 s / A. {\displaystyle A\Ca S/2.414.}

de två ändlängderna e på varje sida (trianglarnas benlängder ( gröna i bilden) trunkerade från torget), liksom att vara e = a / 2 , {\displaystyle e=A/{\sqrt {2}},} kan beräknas som

e = (S − a ) / 2. {\displaystyle \,\!e=(S-a) / 2.}

Circumradius och inradius

den regelbundna oktagonens omkrets i termer av sidolängden A är

R = ( 4 + 2 2 2 ) a , {\displaystyle R= \ vänster ({\frac {\sqrt {4 + 2 {\sqrt {2}}}}{2}}\höger) a,}

och inradius är

r = ( 1 + 2 2 ) a . {\displaystyle r= \ vänster ({\frac {1 + {\sqrt {2}}}{2}}\höger) a.}

(det vill säga hälften av silverförhållandet gånger sidan, A eller hälften av spännvidden, S)

diagonaler

den vanliga oktagonen, i termer av sidolängden A, har tre olika typer av diagonaler:

• kort diagonal;
• Medium diagonal (även kallad span eller höjd), vilket är dubbelt så lång som inradius;
• lång diagonal, vilket är dubbelt så lång som circumradius.

formeln för var och en följer av de grundläggande principerna för geometri. Här är formlerna för deras längd:

• kort diagonal: a 2 + 2 {\displaystyle a {\sqrt {2 + {\sqrt {2}}}}} ;
• medium diagonal: (1 + 2 ) a {\displaystyle (1 + {\sqrt {2}})a} ;( silverförhållande gånger a)
• lång diagonal: a 4 + 2 2 {\displaystyle a{\sqrt {4+2 {\sqrt {2}}}}} .

konstruktion och elementära egenskaper

en vanlig oktagon vid en given circumcircle kan konstrueras enligt följande:

1. rita en cirkel och en diameter AOE, där O är centrum och A, E är punkter på circumcircle.
2. rita en annan diameter GOC, vinkelrätt mot AOE.
3. (notera i förbigående att A,C,E, G är hörn av en kvadrat).
4. Rita bisektorerna i rätvinklarna GOA och EOG, vilket gör ytterligare två diametrar HOD och FOB.
5. A,B,C,D,E,F,G, H är oktagonens hörn.

en vanlig oktagon kan konstrueras med hjälp av en rät och en kompass, som 8 = 23, En kraft på två:

den vanliga oktagonen kan konstrueras med meccano barer. Tolv staplar i storlek 4, tre staplar i storlek 5 och två staplar i storlek 6 krävs.

varje sida av en vanlig oktagon subtends en halv rät vinkel i mitten av cirkeln som förbinder dess hörn. Dess område kan således beräknas som summan av 8 isosceles trianglar, vilket leder till resultatet:

Area = 2 a 2 (2 + 1) {\displaystyle {\text{Area}} = 2a^{2} ({\sqrt {2}}+1)}

för en oktagon på sidan a.

Standardkoordinater

koordinaterna för hörn av en vanlig oktagon centrerad vid ursprunget och med sidolängd 2 är:

• (±1, ±(1+√2))
• (±(1+√2), ±1).

dissektion

8-kubprojektion	24 rombdissektion
	vanlig	Isotoxal

Coxeter säger att varje zonogon (en 2m-gon vars motsatta sidor är parallella och lika långa) kan dissekeras till m (m-1)/2 parallelograms.In särskilt detta gäller för vanliga polygoner med jämnt många sidor, i vilket fall parallellogrammen är alla rhombi. För den vanliga oktagonen, m = 4, och den kan delas in i 6 romber, med ett exempel som visas nedan. Denna sönderdelning kan ses som 6 av 24 ansikten i ett Petrie polygonprojektionsplan av tesseract. Listan (sekvens A006245 i OEIS) definierar antalet lösningar som 8, med de 8 orienteringarna för denna dissektion. Dessa kvadrater och romber används i Ammann–Beenker-plattorna.

vanlig oktagon dissekerad

Tesseract

4 romber och 2 kvadrat

Skew octagon

en skev oktagon är en skev polygon med 8 hörn och kanter men inte existerande på samma plan. Interiören i en sådan oktagon är inte generellt definierad. En skev sicksack oktagon har hörn som växlar mellan två parallella plan.

en vanlig skev oktagon är vertex-transitiv med lika kantlängder. I 3-dimensioner kommer det att vara en sicksack skev oktagon och kan ses i hörn och sidokanter av en kvadratisk antiprism med samma D4d, symmetri, ordning 16.

Petrie polygoner

den vanliga skeva oktagonen är Petrie-polygonen för dessa högre dimensionella regelbundna och enhetliga polytoper, som visas i dessa skeva ortogonala projektioner av i A7 -, B4-och D5-Coxeter-plan.

A7	D5	B4
7-simplex	5-demikube	16-cell	Tesseract

symmetri av oktagon

symmetri

de 11 symmetrier av en vanlig oktagon. Linjer av reflektioner är blå genom hörn, lila genom kanter och gyration order ges i mitten. Hörn är färgade av deras symmetriposition.

den vanliga oktagonen har dih8 symmetri, ordning 16. Det finns 3 dihedrala undergrupper: Dih4, Dih2 och Dih1 och 4 cykliska undergrupper: Z8, Z4, Z2 och Z1, den sista innebär ingen symmetri.

exempel oktagoner genom symmetri

r16
d8	g8	p8
d4	g4	p4
d2	g2	p2
a1

på den vanliga oktagonen finns det 11 distinkta symmetrier. John Conway märker full symmetri som r16. De dihedrala symmetrierna är uppdelade beroende på om de passerar genom hörn (d för diagonal) eller kanter (p för perpendikulär) cykliska symmetrier i mittkolonnen är märkta som g för deras centrala gyrationsorder. Full symmetri av den vanliga formen är r16 och ingen symmetri är märkt a1.

de vanligaste hög symmetri oktagoner är p8, en isogonal oktagon konstruerad av fyra speglar kan alternera långa och korta kanter, och d8, en isotoxal oktagon konstruerad med lika kantlängder, men hörn alternerande två olika inre vinklar. Dessa två former är dualer av varandra och har halva symmetriordningen för den vanliga oktagonen.

varje undergruppssymmetri tillåter en eller flera frihetsgrader för oregelbundna former. Endast G8-undergruppen har inga frihetsgrader men kan ses som riktade kanter.

användning av oktagoner

den åttkantiga formen används som ett designelement i arkitekturen. Klippens kupol har en karakteristisk åttkantig plan. Vindtornet i Aten är ett annat exempel på en åttkantig struktur. Den åttkantiga planen har också varit i kyrkoarkitektur som St. George ’ s Cathedral, Addis Abeba, Basilica of San Vitale (i Ravenna, Italia), Castel Del Monte (Apulien, Italia), Florens Baptistery, zum Friedef Bisexrsten Church (Tyskland) och ett antal åttkantiga kyrkor i Norge. Det centrala utrymmet i Aachen-Katedralen, det karolingiska Palatinkapellet, har en vanlig åttkantig planlösning. Användning av oktagoner i kyrkor inkluderar också mindre designelement, såsom den åttkantiga absiden i Nidaros-Katedralen.

arkitekter som John Andrews har använt åttkantiga golvlayouter i byggnader för att funktionellt separera kontorsområden från byggnadstjänster, särskilt Intelsat-huvudkontoret i Washington D. C., Callam-kontor i Canberra och Octagon-kontor i Parramatta, Australien.

andra användningsområden

• 

  paraplyer har ofta en åttkantig kontur.

• 

  den berömda Bukhara-mattdesignen innehåller ett åttkantigt” elefantfot ” – motiv.

• 

  gatan & blocklayout i Barcelonas Eixample-distrikt är baserad på icke-regelbundna oktagoner

• 

  Janggi använder åttkantiga bitar.

• 

  japanska lotterimaskiner har ofta åttkantig form.

• 

  stoppskylt som används i engelsktalande länder, liksom i de flesta europeiska länder

• 

  en ikon för ett stoppskylt med en hand i mitten.

• 

  trigramerna från den taoistiska bagua ordnas ofta oktagonalt

• 

  berömda åttkantiga guld cup från Belitung skeppsbrott

• 

  klasser på Shimer College hålls traditionellt runt åttkantiga bord

• 

  labyrinten i Reims-Katedralen med en kvasi-åttkantig form.

• 

  rörelsen för den analoga pinnen på Nintendo 64-styrenheten, GameCube-styrenheten, Wii Nunchuk och den klassiska styrenheten begränsas av ett roterat åttkantigt område, vilket gör att pinnen kan röra sig i endast åtta olika riktningar.

härledda siffror

• 

  den stympade fyrkantiga plattan har 2 oktagoner runt varje toppunkt.
  

• 

  ett åttkantigt prisma innehåller två åttkantiga ansikten.
  

• 

  en åttkantig antiprism innehåller två åttkantiga ansikten.
  

• 

  den stympade cuboctahedronen innehåller 6 åttkantiga ansikten.
  

relaterade polytoper

oktagonen, som en stympad kvadrat, är först i en sekvens av stympade hyperkuber:

stympade hyperkuber

bild								…
namn	oktagon	avkortad kub	avkortad tesseract	avkortad 5-kub	avkortad 6-kub	avkortad 7-kub	avkortad 8-kub
Coxeter diagram
Vertex figur	() v( )	() v{ }	() v{3}	() v{3,3}	( )v{3,3,3}	( )v{3,3,3,3}	( )v{3,3,3,3,3}

som en expanderad kvadrat är den också först i en sekvens av expanderade hyperkuber:

utökade hyperkuber

							…
Octagon	Rhombicuboctahedron	Runcinerad tesseract	Stercated 5-kub	Pentellated 6-kub	Hexcicated 7-kub	Heptellated 8-kub

Se även

• stötfångare pool
• oktagon hus
• åttkantiga nummer
• Octagram
• oktaeder, 3D-form med åtta ansikten.
• Oktogon, en stor korsning i Budapest, Ungern
• Rub el Hizb (även känd som Al Quds stjärna och som Okta stjärna)
• utjämnad oktagon

slå upp octagon i Wiktionary, den fria ordboken.

• Octagon Calculator
• Definition och egenskaper hos en octagon med interaktiv animering