Octagon

pravidelný osmiúhelník

Typ

pravidelný mnohoúhelník

hrany a vrcholy

schläfli symbol

{8}, t{4}

Coxeter-Dynkinovy diagramy

skupina symetrie

Dihedral (D8), pořadí 2×8

vnitřní úhel (stupně)

135°

vlastnosti

konvexní, cyklický, rovnostranný, izogonální, izotoxický

v geometrii je osmiúhelník (z řeckého ὀκτάγωνον oktágnnon, „osm úhlů“) osmistranný mnohoúhelník nebo 8-gon.

pravidelný osmiúhelník má Schläfli symbol {8} a může být také konstruován jako kvaziregulární komolý čtverec, t{4}, který střídá dva typy hran. Zkrácený osmiúhelník, t{8} je šestiúhelník, {16}. 3D analogem osmiúhelníku může být kosočtverec s trojúhelníkovými plochami na něm jako nahrazené hrany, pokud se osmiúhelník považuje za zkrácený čtverec.

vlastnosti obecného osmiúhelníku

součet všech vnitřních úhlů každého osmiúhelníku je 1080°. Stejně jako u všech polygonů, vnější úhly celkem 360°.

pokud jsou čtverce konstruovány všechny vnitřně nebo všechny externě na stranách osmiúhelníku, pak středy segmentů spojujících středy protilehlých čtverců tvoří čtyřúhelník, který je jak equidiagonální, tak ortodiagonální (tj.: Vrtule. 9

středový osmiúhelník referenčního osmiúhelníku má svých osm vrcholů ve středu stran referenčního osmiúhelníku. Pokud jsou čtverce konstruovány všechny vnitřně nebo všechny externě na stranách středového osmiúhelníku, pak středy segmentů spojujících středy protilehlých čtverců tvoří vrcholy čtverce.: Vrtule. 10

pravidelný osmiúhelník

pravidelný osmiúhelník je uzavřená postava se stranami stejné délky a vnitřními úhly stejné velikosti. Má osm linií reflexní symetrie a rotační symetrie řádu 8. Pravidelný osmiúhelník je reprezentován symbolem Schläfli {8}.Vnitřní úhel na každém vrcholu pravidelného osmiúhelníku je 135° (3 π 4 {\displaystyle \ scriptstyle {\frac {3\pi }{4}}} radiány). Středový úhel je 45° (π 4 {\displaystyle \ scriptstyle {\frac {\pi }{4}}} radiány).

Plocha

Plocha pravidelného osmiúhelníku o délce strany a je dána

A = 2 cot π 8 a 2 = 2 (1 + 2 ) a 2 ≃ 4.828 a 2 . {\displaystyle A=2\cot {\frac {\pi }{8}}a^{2}=2(1+{\sqrt {2}}) a^{2}\simeq 4.828\, a^{2}.}

pokud jde o obvod R, plocha je

A = 4 sin ⁡ π 4 R 2 = 2 2 R 2 2. 2.828 R 2 . {\displaystyle A=4\sin {\frac {\pi }{4}}R^{2}=2 {\sqrt {2}}r^{2}\simeq 2.828\, R^{2}.}

pokud jde o apothem r (viz také vepsaný obrázek), plocha je

A = 8 tan π π 8 r 2 = 8 (2 − 1 ) r 2 3. 3.314 r 2 . {\displaystyle A=8 \ tan {\frac {\pi }{8}}r^{2}=8 ({\sqrt {2}}-1)r^{2}\simeq 3.314\, r^{2}.}

tyto poslední dva koeficienty tvoří hodnotu pi, plochu jednotkové kružnice.

oblast může být také vyjádřena jako

a = s 2-a 2, {\displaystyle \,\!A = s^{2} – a^{2},}

kde S je rozpětí osmiúhelníku nebo druhá nejkratší úhlopříčka; a a je délka jedné ze stran nebo základen. To lze snadno prokázat, pokud člověk vezme osmiúhelník, nakreslí čtverec kolem vnějšku (ujistěte se, že čtyři z osmi stran se překrývají se čtyřmi stranami čtverce) a poté vezme rohové trojúhelníky (to jsou 45-45-90 trojúhelníků) a umístí je pravými úhly směřujícími dovnitř a tvoří čtverec. Okraje tohoto čtverce jsou každá délka základny.

vzhledem k délce strany a je rozpětí s

s = a 2 + a + a 2 = ( 1 + 2 ) a ≈ 2.414 a . {\displaystyle S={\frac {a} {\sqrt {2}}}+a+{\frac {a} {\sqrt {2}}}=(1+{\sqrt {2}}) a\cca 2.414 a.}

rozpětí se pak rovná stříbrnému poměru krát strana, a.

plocha je pak jako výše:

a = ( ( 1 + 2 ) a ) 2 − a 2 = 2 ( 1 + 2 ) a 2 ≈ 4.828 a 2 . {\displaystyle A=((1+{\sqrt {2}})a)^{2} – a^{2}=2(1+{\sqrt {2}}) a^{2} \ přibližně 4.828 a^{2}.}

vyjádřeno jako rozpětí, plocha je

A = 2 (2 − 1 ) S 2 ≈ 0,828 S 2 . {\displaystyle A=2 ({\sqrt {2}}-1)s^{2}\přibližně 0.828 s^{2}.}

další jednoduchý vzorec pro oblast je

A = 2 A s. {\displaystyle \ A=2aS.}

častěji je známo rozpětí S a je třeba určit délku stran a, jako při řezání čtvercového kusu materiálu do pravidelného osmiúhelníku. Z výše uvedeného

a ≈ S / 2.414. {\displaystyle A \ approx S / 2.414.}

dvě koncové délky e na každé straně (délky nohou trojúhelníků (zelené na obrázku) zkrácené od čtverce), stejně jako E = a / 2 , {\displaystyle e=a/{\sqrt {2}},} lze vypočítat jako

e = ( S − a ) / 2. {\displaystyle \,\!e=(S-a)/2.}

Circumradius a inradius

circumradius pravidelného osmiúhelníku z hlediska délky strany a je

R = ( 4 + 2 2 2 ) A, {\displaystyle R= \ left ({\frac {\sqrt {4+2 {\sqrt {2}}}}{2}}\vpravo) a,}

a inradius je

r = (1 + 2 2) a . {\displaystyle r= \ left ({\frac {1+{\sqrt {2}}}{2}}\right) a.}

(to je polovina stříbrného poměru krát strana, a nebo polovina rozpětí, S)

úhlopříčky

pravidelný osmiúhelník, pokud jde o délku strany a, má tři různé typy úhlopříček:

• krátká úhlopříčka;
• Střední úhlopříčka (také nazývaná rozpětí nebo výška), což je dvojnásobek délky inradia;
• dlouhá úhlopříčka, což je dvojnásobek délky circumradia.

vzorec pro každý z nich vyplývá ze základních principů geometrie. Zde jsou vzorce pro jejich délku:

• krátká úhlopříčka: a 2 + 2 {\displaystyle A {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}} ;
• Střední úhlopříčka: (1 + 2 ) A {\displaystyle (1+{\sqrt {2}})a} ; (stříbrný poměr krát a)
• dlouhá úhlopříčka: a 4 + 2 2 {\displaystyle A{\sqrt {4+2 {\sqrt {2}}}}} .

konstrukční a elementární vlastnosti

pravidelný osmiúhelník v daném circumcircle může být konstruován následovně:

1. nakreslete kruh a průměr AOE, kde O je střed a A, E jsou body na circumcircle.
2. nakreslete další průměr GOC, kolmý na AOE.
3. (Všimněte si,že A, C, E, G jsou vrcholy čtverce).
4. nakreslete bisektory pravých úhlů GOA a EOG, čímž vytvoříte další dva průměry HOD a FOB.
5. A,B,C, D, E, F, G, H jsou vrcholy osmiúhelníku.

pravidelný osmiúhelník může být konstruován pomocí rovného okraje a kompasu, jako 8 = 23, síla dvou:

pravidelný osmiúhelník může být konstruován s tyčemi meccano. Vyžaduje se dvanáct tyčí velikosti 4, tři tyče velikosti 5 a dva tyče velikosti 6.

každá strana pravidelného osmiúhelníku snižuje polovinu pravého úhlu ve středu kruhu, který spojuje jeho vrcholy. Jeho plochu lze tedy vypočítat jako součet 8 rovnoramenných trojúhelníků, což vede k výsledku:

Area = 2 a 2 (2 + 1 ) {\displaystyle {\text{Area}}=2a^{2} ({\sqrt {2}}+1)}

pro osmiúhelník strany a.

standardní souřadnice

souřadnice vrcholů pravidelného osmiúhelníku se středem na počátku a s délkou strany 2 jsou:

• (±1, ±(1+√2))
• (±(1+√2), ±1).

disekce

8-projekce krychle	24 disekce kosočtverce
	Regular	Isotoxal

Coxeter uvádí, že každý zonogon (2m-gon, jehož protilehlé strany jsou rovnoběžné a stejné délky) lze rozdělit na m (m-1) / 2 parallelograms.In to platí zejména pro pravidelné mnohoúhelníky s rovnoměrně mnoha stranami, v tomto případě jsou rovnoběžníky všechny kosočtverce. Pro pravidelný osmiúhelník m=4 a lze jej rozdělit na 6 kosočtverců, přičemž jeden příklad je uveden níže. Tento rozklad může být viděn jako 6 z 24 ploch v Petrieho polygonové projekční rovině Tesseractu. Seznam (sekvence a006245 v OEIS) definuje počet řešení jako 8, 8 orientacemi této disekce. Tyto čtverce a kosočtverce se používají v obkladech Ammann–Beenker.

pravidelný osmiúhelník členitý

Tesseract

4 kosočtverce a 2 čtverce

zkosený osmiúhelník

zkosený osmiúhelník je zkosený mnohoúhelník s 8 vrcholy a hranami, ale neexistuje ve stejné rovině. Interiér takového osmiúhelníku není obecně definován. Zkosený cik-cak osmiúhelník má vrcholy střídající se mezi dvěma rovnoběžnými rovinami.

pravidelný zkosený osmiúhelník je vrcholově tranzitivní se stejnými délkami hran. Ve 3 rozměrech to bude cik-cak zkosený osmiúhelník a může být viděn ve vrcholech a bočních okrajích čtvercového antiprismu se stejným D4d, symetrií, řádem 16.

Petrieho polygony

pravidelný zkosený osmiúhelník je Petrieho polygon pro tyto vyšší rozměrové pravidelné a rovnoměrné polytopy, znázorněné v těchto šikmých ortogonálních projekcích v coxeterových rovinách A7, B4 a D5.

A7	D5	B4
7-simplex	5-demicube	16-cell	Tesseract

symetrie osmiúhelníku

symetrie

11 symetrií pravidelného osmiúhelníku. Čáry odrazů jsou modré přes vrcholy, fialové přes okraje a gyrační příkazy jsou uvedeny ve středu. Vrcholy jsou zbarveny podle polohy symetrie.

pravidelný osmiúhelník má symetrii Dih8, řád 16. Existují 3 dihedrální podskupiny: Dih4, Dih2 a Dih1 a 4 cyklické podskupiny: Z8, Z4, Z2 a Z1, z nichž poslední neznamená symetrii.

příklad osmiúhelníků podle symetrie

r16
d8	g8	p8
d4	g4	p4
d2	g2	p2
a1

na pravidelném osmiúhelníku je 11 odlišných symetrií. John Conway označuje plnou symetrii jako r16. Dihedrální symetrie jsou rozděleny podle toho, zda procházejí vrcholy (d pro diagonální) nebo hrany (p pro kolmice) cyklické symetrie ve středním sloupci jsou označeny jako g pro jejich centrální gyrační řády. Plná symetrie pravidelného tvaru je r16 a žádná symetrie není označena a1.

nejběžnější osmiúhelníky s vysokou symetrií jsou P8, izogonální osmiúhelník konstruovaný čtyřmi zrcadly může střídat dlouhé a krátké hrany a d8, izotoxický osmiúhelník konstruovaný se stejnými délkami hran, ale vrcholy střídající dva různé vnitřní úhly. Tyto dvě formy jsou navzájem duály a mají polovinu pořadí symetrie pravidelného osmiúhelníku.

každá symetrie podskupiny umožňuje jeden nebo více stupňů volnosti pro nepravidelné tvary. Pouze podskupina g8 nemá žádné stupně volnosti, ale může být viděna jako směrované hrany.

použití osmiúhelníků

osmihranný tvar se používá jako konstrukční prvek v architektuře. Kopule skály má charakteristický osmiboký půdorys. Věž větrů v Aténách je dalším příkladem osmihranné struktury. Jiří, Addis Abeba, Bazilika San Vitale (v Ravenně, Itálie), Castel del Monte (Apulie, Itálie), florentské baptisterie, Kostel Zum Friedefürsten (Německo) a řada osmibokých kostelů v Norsku. Centrální prostor v katedrále v Cáchách, Karolingovská Palatinská kaple, má pravidelný osmiboký půdorys. Použití osmiúhelníků v kostelech zahrnuje také menší konstrukční prvky,jako je osmiboká apsida katedrály Nidaros.

architekti jako John Andrews použili osmiúhelníkové půdorysy v budovách pro funkční oddělení kancelářských prostor od stavebních služeb, zejména ústředí Intelsat ve Washingtonu D. C., kanceláře Callam v Canbeře a kanceláře Octagon v Parramattě v Austrálii.

Jiná použití

• 

  deštníky mají často osmihranný obrys.

• 

  slavný design koberce Bukhara zahrnuje osmiboký motiv“ sloní nohy“.

• 

  ulice & blokové uspořádání barcelonské čtvrti Eixample je založeno na nepravidelných osmiúhelnících

• 

  Janggi používá osmihranné kusy.

• 

  japonské loterijní stroje mají často osmihranný tvar.

• 

  stopka používaná v anglicky mluvících zemích, stejně jako ve většině evropských zemí

• 

  ikona stopky s rukou uprostřed.

• 

  trigramy taoistické bagua jsou často uspořádány oktagonálně

• 

  slavný osmiboký zlatý pohár z vraku lodi Belitung

• 

  třídy na Shimer College se tradičně konají kolem osmihranných stolů

• 

  Labyrint katedrály v Remeši s kvazi-osmiúhelníkovým tvarem.

• 

  pohyb analogové páčky řadiče Nintendo 64, regulátoru GameCube, Wii Nunchuk a klasického ovladače je omezen otočenou osmihrannou oblastí, což umožňuje, aby se hůl pohybovala pouze v osmi různých směrech.

odvozené údaje

• 

  zkrácená čtvercová dlažba má kolem každého vrcholu 2 osmiúhelníky.
  

• 

  osmiboký hranol obsahuje dvě osmiboké plochy.
  

• 

  osmiboký antiprismus obsahuje dvě osmiboké tváře.
  

• 

  zkrácený kvádr obsahuje 6 osmibokých ploch.
  

související polytopy

osmiúhelník, jako zkrácený čtverec, je nejprve v sekvenci zkrácených hyperkostek:

zkrácené hyperkostky

obrázek								…
Název	Osmiúhelník	zkrácená kostka	zkrácená tesseract	zkrácená 5-kostka	zkrácená 6-kostka	zkrácená 7-kostka	zkrácená 8-kostka
Coxeterův diagram
obrázek vrcholu	() v( )	() v{ }	() v{3}	() v{3,3}	( )v{3,3,3}	( )v{3,3,3,3}	( )v{3,3,3,3,3}

jako rozšířený čtverec je také nejprve v sekvenci rozšířených hyperkostek:

rozšířené hyperkostky

							…
Osmiúhelník	kosočtverec	Runcinovaný tesseract	Stericated 5-cube	Pentellated 6-cube	Hexicated 7-cube	Heptellated 8-cube

Viz také

• bazén nárazníku
• Osmiúhelník dům
• Osmiúhelník číslo
• Oktagram
• Osmiúhelník, 3D tvar s osmi plochami.
• Oktogon, hlavní křižovatka v Budapešti, Maďarsko
• Rub el Hizb (také známý jako Al Quds Star a jako Octa Star)
• vyhlazený osmiúhelník

vyhledejte osmiúhelník ve Wikislovníku, bezplatný slovník.

• Osmiúhelník kalkulačka
• definice a vlastnosti osmiúhelníku s interaktivní animace