Octagon

regelmæssig ottekant

Type

regulær polygon

kanter og hjørner

Schl

{8}, t{4}

cdel node 1445>

symmetri gruppe

Dihedral (D8), rækkefølge 2×8

indvendig vinkel (grader)

135°

egenskaber

konveks, cyklisk, ligesidet, isogonal, isotoksal

i geometri er en ottekant (fra den græske LARP okt LARP, “otte vinkler”) en otte-sidet polygon eller 8-Gon.

en regulær ottekant har Schlristfli symbol {8} og kan også konstrueres som en kvasiregulær trunkeret firkant, t{4}, som veksler to typer kanter. En afkortet ottekant, t{8} er en sekskant, {16}. En 3D-analog af ottekant kan være rhombicuboctahedron med de trekantede flader på den som de udskiftede kanter, hvis man betragter ottekant som en afkortet firkant.

egenskaber for den generelle ottekant

summen af alle de indre vinkler af enhver ottekant er 1080 liter. Som med alle polygoner udgør de ydre vinkler 360 liter.

hvis firkanter er konstrueret Alle internt eller alle eksternt på siderne af en ottekant, danner midtpunkterne for segmenterne, der forbinder centrene af modsatte firkanter, en firkant, der er både ækvivalent og ortodiagonal (det vil sige, hvis diagonaler er lige lange og vinkelret på hinanden).: Prop. 9

midtpunktet ottekant af en reference ottekant har sine otte hjørner ved midtpunkterne på siderne af reference ottekant. Hvis firkanter er konstrueret Alle internt eller alle eksternt på siderne af midtpunktet ottekant, danner midtpunkterne for segmenterne, der forbinder centrene af modsatte firkanter, selv hjørnerne på en firkant.: Prop. 10

regelmæssig ottekant

en regelmæssig ottekant er en lukket figur med sider af samme længde og indvendige vinkler af samme størrelse. Den har otte linjer med reflekterende symmetri og rotationssymmetri i rækkefølge 8. En regelmæssig ottekant er repræsenteret af Schlrristfli-symbolet {8}.Den indvendige vinkel ved hvert toppunkt i en regelmæssig ottekant er 135 liter (3 liter 4 {\displaystyle \ scriptstyle {\frac {3 \ pi }{4}}} radianer). Den centrale vinkel er 45 liter (4 {\displaystyle \ scriptstyle {\frac {\pi }{4}}} radianer).

Areal

arealet af en regelmæssig ottekant med sidelængde A er givet af

a = 2 barnesengelængde 8 a 2 = 2 ( 1 + 2 ) a 2 liter 4.828 a 2 . {\displaystyle a=2 \ cot {\frac {\pi }{8}}a^{2}=2(1+{\{2}}) a^{2}\Simek 4.828\, a^{2}.}

med hensyn til circumradius R, området er

A = 4 synd-kar 4 R 2 = 2 2 R 2-kar 2.828 R 2 . {\displaystyle a=4 \ sin {\frac {\pi }{4}}R^{2}=2{\kvm {2}}R^{2}\Simek 2.828\,R^{2}.}

med hensyn til apotemet r (Se også indskrevet figur) er området

A = 8 tan − karrosseri 8 R 2 = 8 ( 2-1 ) R 2-karrosseri 3.314 r 2 . {\displaystyle A=8 \ tan {\frac {\pi }{8}}r^{2}=8({\kvm {2}}-1)r^{2}\Simek 3.314\,r^{2}.}

disse to sidste koefficienter beslaglægger værdien af pi, arealet af enhedscirklen.

området kan også udtrykkes som

A = S 2-a 2, {\displaystyle\,\!A=S^{2} – a^{2},}

hvor S er spidsen af ottekant, eller den anden korteste diagonal; og A er længden af en af siderne, eller baser. Dette er let bevist, hvis man tager en ottekant, trækker en firkant rundt om ydersiden (sørg for, at fire af de otte sider overlapper de fire sider af firkanten) og derefter tager hjørnetrekanterne (disse er 45-45-90 trekanter) og placerer dem med rette vinkler, der peger indad og danner en firkant. Kanten af denne firkant er hver længden af basen.

i betragtning af længden af en side A er spændvidden s

S = a 2 + a + A 2 = ( 1 + 2 ) EN lod 2.414 a . {\displaystyle S={\frac {a} {\frac {2}}}+A+{\frac {a} {\frac {a}{2}}}=(1+{\ 2}}) A \ Ca. 2.414 a.}

spændet er Derefter lig med sølvforholdet gange siden, a.

området er derefter som ovenfor:

A = ( ( 1 + 2) − en ) 2-en 2 = 2 ( 1 + 2) – en 2 till 4.828-en 2. {\displaystyle A=((1 + {\kvm {2}})a)^{2} – a^{2}=2(1+{\{2}}) a^{2}\ca. 4.828 a^{2}.}

udtrykt i spændvidde, området er

A = 2 ( 2 − 1 ) S 2 til 0,828 S 2 . {\displaystyle a=2 ({\kvm {2}}-1)S^{2}\ca 0,828 S^{2}.}

en anden simpel formel for området er

A = 2 A S . {\displaystyle \ a=2aS.}

oftere er spændvidden S kendt, og længden af siderne, a, skal bestemmes, som når man skærer et firkantet stykke materiale i en regelmæssig ottekant. Fra ovenstående,

a LP S / 2.414. {\displaystyle a \ Ca. S / 2.414.}

de to endelængder e på hver side (trekantenes benlængder ( grøn i billedet) afkortet fra firkanten) samt at være e = a / 2, {\displaystyle e=A/{\kvm {2}},} kan beregnes som

e = (S − a ) / 2. {\displaystyle \,\!e=(S-a) / 2.}

Circumradius og inradius

circumradius af den regelmæssige ottekant med hensyn til sidelængden a er

R = ( 4 + 2 2 2 ) a, {\displaystyle R= \ left ({\frac {\KVRT {4 + 2 {\KVRT {2}}}}{2}}\højre) a,}

og inradius er

r = (1 + 2 2 ) a . {\displaystyle r= \ left ({\frac {1 + {2}}}{2}}\ højre) a.}

(det er halvdelen af sølvforholdet gange siden, a eller halvdelen af spændvidden, S)

diagonaler

den regelmæssige ottekant, hvad angår sidelængden a, Har tre forskellige typer diagonaler:

• kort diagonal;
• Medium diagonal (også kaldet spændvidde eller højde), som er dobbelt så lang som inradius;
• lang diagonal, som er dobbelt så lang som circumradius.

formlen for hver af dem følger af de grundlæggende principper for geometri. Her er formlerne for deres længde:

• kort diagonal: a 2 + 2 {\displaystyle a{\KVRT {2 + {\KVRT {2}}}}} ;
• medium diagonal: ( 1 + 2) a {\displaystyle (1 + {\kvm {2}})a} ; (sølvforhold gange A)
• lang diagonal: a 4 + 2 2 {\displaystyle a{\kvm {4+2 {\skive {2}}}}} .

konstruktion og elementære egenskaber

en regelmæssig ottekant ved en given circumcircle kan konstrueres som følger:

1. Tegn en cirkel og en diameter AOE, hvor O er centrum og A, E er punkter på circumcircle.
2. Tegn en anden diameter GOC, vinkelret på AOE.
3. (Bemærk i forbifarten,at A,C,E, G er hjørner af en firkant).
4. tegn bisektorerne af de rette vinkler GOA og EOG, hvilket gør to diametre mere HOD og FOB.
5. A,B,C,D,E,F,G,H er ottekantens hjørner.

en regelmæssig ottekant kan konstrueres ved hjælp af en straightedge og et kompas, som 8 = 23, en kraft på to:

den regelmæssige ottekant kan konstrueres med meccano barer. Tolv stænger af størrelse 4, tre stænger af størrelse 5 og to stænger af størrelse 6 er påkrævet.

hver side af en regelmæssig ottekant subtenderer en halv ret vinkel i midten af cirklen, der forbinder dens hjørner. Dets område kan således beregnes som summen af 8 ensartede trekanter, hvilket fører til resultatet:

Område = 2 a 2 (2 + 1) {\displaystyle {\tekst{område}}=2a^{2} ({ \ {2}}+1)}

for en ottekant af side a.

Standardkoordinater

koordinaterne for hjørnerne af en regelmæssig ottekant centreret ved oprindelsen og med sidelængde 2 er:

• (±1, ±(1+√2))
• (±(1+√2), ±1).

dissektion

8-cube projektion	24 rhomb dissektion
	regelmæssig	Isotoksal

2m-gon, hvis modsatte sider er parallelle og af samme længde) kan dissekeres i m (m-1) / 2 parallelograms.In især gælder dette for regelmæssige polygoner med jævnt mange sider, i hvilket tilfælde parallelogrammerne alle er rhombi. For den almindelige ottekant, m=4, og den kan opdeles i 6 rhombs, med et eksempel vist nedenfor. Denne nedbrydning kan ses som 6 af 24 ansigter i et Petrie polygonprojektionsplan af tesseract. Listen (sekvens A006245 i OEIS) definerer antallet af løsninger som 8 ved de 8 retninger af denne ene dissektion. Disse firkanter og rhombs bruges i Ammann-Beenker-fliserne.

regelmæssig ottekant dissekeret

Tesseract

4 romber og 2 kvadrat

skæv ottekant

en skæv ottekant er en skæv polygon med 8 hjørner og kanter, men ikke eksisterende på samme plan. Det indre af en sådan ottekant er ikke generelt defineret. En skæv siksak-ottekant har hjørner, der skifter mellem to parallelle planer.

en regelmæssig skæv ottekant er toppunkt-transitiv med lige kantlængder. I 3-dimensioner vil det være en siksak skæv ottekant og kan ses i hjørnerne og sidekanterne af en firkantet antiprisme med samme D4D, symmetri, rækkefølge 16.

Petrie-polygoner

den regelmæssige skæve ottekant er Petrie-polygonen for disse højere dimensionelle regelmæssige og ensartede polytoper, vist i disse skæve ortogonale fremskrivninger af i A7 -, B4-og D5-Koblingsplaner.

A7	D5	B4
7-simpleks	5-demicube	16-celle	Tesseract

symmetri af ottekant

symmetri

de 11 symmetrier af en regelmæssig ottekant. Linjer af refleksioner er blå gennem hjørner, lilla gennem kanter og gyration ordrer er givet i midten. Hjørner er farvet af deres symmetriposition.

den regelmæssige ottekant har Dih8 symmetri, rækkefølge 16. Der er 3 dihedrale undergrupper: Dih4, Dih2og Dih1og 4 cykliske undergrupper: S8, S4, S2og S1, den sidste antyder ingen symmetri.

eksempel ottekanter ved symmetri

r16
d8	g8	p8
d4	g4	p4
d2	g2	p2
a1

på den regelmæssige ottekant er der 11 forskellige symmetrier. John Conro mærker fuld symmetri som r16. De dihedrale symmetrier er opdelt afhængigt af om de passerer gennem hjørner (d for diagonal) eller kanter (p for perpendiculars) cykliske symmetrier i den midterste søjle er mærket som g for deres centrale gyration ordrer. Fuld symmetri af den almindelige form er r16, og ingen symmetri er mærket A1.

de mest almindelige ottekanter med høj symmetri er p8, en isogonal ottekant Konstrueret af fire spejle kan skifte lange og korte kanter, og d8, en isotoksal ottekant konstrueret med lige kantlængder, men hjørner skiftevis to forskellige indre vinkler. Disse to former er dualer af hinanden og har halvdelen af symmetrirækkefølgen af den regelmæssige ottekant.

hver undergruppesymmetri tillader en eller flere frihedsgrader for uregelmæssige former. Kun G8-undergruppen har ingen frihedsgrader, men kan ses som rettede kanter.

anvendelse af ottekanter

den ottekantede form bruges som et designelement i arkitekturen. Klippets kuppel har en karakteristisk ottekantet plan. Vindtårnet i Athen er et andet eksempel på en ottekantet struktur. Den ottekantede plan har også været inden for kirkearkitektur som St. George ‘ s Cathedral, Addis Abeba, Basilica of San Vitale (i Ravenna, Italia), Castel del Monte (Apulien, Italia), Florence Baptistery, den Friedef-kirke (Tyskland) og en række ottekantede kirker i Norge. Det centrale rum i Aachen-katedralen, det karolingiske Palatinkapel, har en regelmæssig ottekantet grundplan. Anvendelser af ottekanter i kirker inkluderer også mindre designelementer, såsom den ottekantede apsis af Nidaros-katedralen.

arkitekter har brugt ottekantede gulvlayouter i bygninger til funktionelt at adskille kontorområder fra bygningstjenester, især Intelsat-hovedkvarteret i Canberra, og Octagon-kontorer i Parramatta, Australien.

andre anvendelser

• 

  Paraplyer har ofte en ottekantet kontur.

• 

  det berømte Bukhara-tæppedesign indeholder et ottekantet” elefantfod ” – motiv.

• 

  gaden & bloklayout af Barcelonas e-Prøvekvarter er baseret på ikke-regelmæssige ottekanter

• 

  Janggi bruger ottekantede stykker.

• 

  japanske lotterimaskiner har ofte ottekantet form.

• 

  stopskilt brugt i engelsktalende lande såvel som i de fleste europæiske lande

• 

  et ikon af et stopskilt med en hånd i midten.

• 

  trigrammerne for den taoistiske bagua arrangeres ofte ottekantet

• 

  berømt ottekantet guldkop fra Belitung-skibsvraget

• 

  klasser på Shimer College afholdes traditionelt omkring ottekantede borde

• 

  labyrinten i Reims-katedralen med en kvasi-ottekantet form.

• 

  bevægelsen af den analoge pind(er) på Nintendo 64-controlleren, GameCube-controlleren, Nunchuk og Classic-controlleren er begrænset af et roteret ottekantet område, så pinden kun kan bevæge sig i otte forskellige retninger.

afledte tal

• 

  den afkortede firkantede flisebelægning har 2 ottekanter omkring hvert toppunkt.
  

• 

  et ottekantet prisme indeholder to ottekantede ansigter.
  

• 

  en ottekantet antiprisme indeholder to ottekantede ansigter.
  

• 

  den trunkerede cuboctahedron indeholder 6 ottekantede flader.
  

relaterede polytoper

ottekantet, som en afkortet firkant, er først i en sekvens af afkortede hypercubes:

afkortede hypercubes

billede								…
navn	ottekant	trunkeret terning	trunkeret tesseract	trunkeret 5-terning	trunkeret 6-terning	trunkeret 7-terning	trunkeret 8-terning
Cdel node 1445>
toppunkt figur	() v( )	() v{ }	() v{3}	() v{3,3}	( )v{3,3,3}	( )v{3,3,3,3}	( )v{3,3,3,3,3}

som en udvidet firkant er den også først i en sekvens af udvidede hypercubes:

udvidede hypercubes

							…
ottekant	Rhombicuboctahedron	Runcineret tesseract	Stericated 5-terning	Pentellated 6-terning	sekskantet 7-terning	Heptellated 8-terning

Se også

• Kofangerpool
• Octagon house
• ottekantet nummer
• Octagram
• oktaeder, 3D-form med otte ansigter.
• Oktogon, et stort kryds i Budapest, Ungarn
• Rub el Hisb (også kendt som al-stjerne og som Octa-stjerne)
• glattet ottekant

slå ottekant op i den gratis ordbog.

• Octagon Calculator
• Definition og egenskaber af en ottekant med interaktiv animation