Fußball Physik

• Ball Drag

Der folgende Artikel zur Erforschung der Fußballphysik wurde erstmals im Physics World Magazine, Juni 1998, S. 25–27, veröffentlicht.

Die Fußballphysik

Bill Shankly, der ehemalige Manager des Liverpool Football Club, sagte einmal: „Beim Fußball geht es nicht um Leben oder Tod. Es ist wichtiger als das.“ In diesem Monat bei der Weltmeisterschaft in Frankreich werden Millionen von Fußballfans das gleiche Gefühl für ein paar, kurze Wochen bekommen. Dann wird das Ereignis vorbei sein, und alles, was bleiben wird, werden ein paar Wiederholungen im Fernsehen und die endlosen Spekulationen darüber sein, was passiert sein könnte.

Es ist dieser Aspekt des Fußballs, den seine Fans lieben und andere hassen. Was wäre, wenn diese Strafe eingetreten wäre? Was wäre, wenn der Spieler nicht entlassen worden wäre? Was wäre, wenn sich dieser Freistoß nicht um die Wand gebeugt und ein Tor erzielt hätte?

Viele Fans werden sich an den Freistoß des Brasilianers Roberto Carlos bei einem Turnier in Frankreich im vergangenen Sommer erinnern. Der Ball wurde etwa 30 m vom gegnerischen Tor entfernt und leicht nach rechts gelegt. Carlos traf den Ball so weit nach rechts, dass er die Wand der Verteidiger zunächst um mindestens einen Meter freiräumte und einen Balljungen, der Meter vom Tor entfernt stand, mit dem Kopf ducken ließ. Dann kurvte der Ball fast magisch nach links und drang in die obere rechte Ecke des Tores ein – zum Erstaunen der Spieler, des Torhüters und der Medien.

Anscheinend übte Carlos diesen Kick die ganze Zeit auf dem Trainingsplatz. Er wusste intuitiv, wie man den Ball krümmt, indem er ihn mit einer bestimmten Geschwindigkeit und mit einem bestimmten Spin trifft. Wahrscheinlich kannte er die Physik dahinter nicht.

Aerodynamik von Sportbällen

Die erste Erklärung der seitlichen Ablenkung eines sich drehenden Objekts wurde von Lord Rayleigh der Arbeit des deutschen Physikers Gustav Magnus im Jahr 1852 zugeschrieben. Magnus hatte tatsächlich versucht herauszufinden, warum sich drehende Granaten und Kugeln zur Seite ablenken, aber seine Erklärung gilt gleichermaßen für Bälle. In der Tat ist der grundlegende Mechanismus eines geschwungenen Balls im Fußball fast derselbe wie in anderen Sportarten wie Baseball, Golf, Cricket und Tennis.

Sich drehende Kugel

Betrachten Sie einen Ball, der sich um eine Achse dreht, die senkrecht zum Luftstrom darüber steht (siehe links). Die Luft bewegt sich schneller relativ zur Mitte der Kugel, wo sich die Peripherie der Kugel in die gleiche Richtung wie der Luftstrom bewegt. Dies reduziert den Druck nach dem Bernoulli-Prinzip.

Der gegenteilige Effekt tritt auf der anderen Seite des Balls auf, wo sich die Luft relativ zur Mitte des Balls langsamer bewegt. Es gibt daher ein Ungleichgewicht in den Kräften und der Ball lenkt ab – oder, wie Sir Jj Thomson es 1910 ausdrückte, „der Ball folgt seiner Nase“. Diese seitliche Ablenkung einer Kugel im Flug wird allgemein als „Magnus-Effekt“ bezeichnet.

Die Kräfte auf einen sich drehenden Ball, der durch die Luft fliegt, werden im Allgemeinen in zwei Arten unterteilt: eine Auftriebskraft und eine Widerstandskraft. Die Auftriebskraft ist die Aufwärts- oder Seitwärtskraft, die für den Magnus-Effekt verantwortlich ist. Die Schleppkraft wirkt in die entgegengesetzte Richtung zum Weg des Balls.

Lassen Sie uns die Kräfte bei der Arbeit in einem gut gemachten Freistoß berechnen. Angenommen, die Geschwindigkeit des Balls beträgt 25-30 ms-1 (etwa 70 mph) und der Spin beträgt etwa 8-10 Umdrehungen pro Sekunde, dann beträgt die Auftriebskraft etwa 3,5 N.

Die Vorschriften besagen, dass ein Profifußball eine Masse von 410-450 g haben muss, was bedeutet, dass er um etwa 8 ms-2 beschleunigt. Und da der Ball über seine 30 m Flugbahn 1 s im Flug wäre, könnte die Auftriebskraft den Ball um bis zu 4 m von seinem normalen geradlinigen Kurs abweichen lassen. Genug, um jeden Torhüter zu stören!

Die Widerstandskraft, FD, an einer Kugel nimmt mit dem Quadrat der Geschwindigkeit, v, zu, vorausgesetzt, dass die Dichte, r, der Kugel und ihre Querschnittsfläche, A, unverändert bleiben: FD = CDrAv2/2. Es scheint jedoch, dass der „Luftwiderstandsbeiwert“ CD auch von der Geschwindigkeit des Balls abhängt.

Wenn wir beispielsweise den Luftwiderstandsbeiwert gegen die Reynoldsche Zahl darstellen – einen nichtdimensionalen Parameter gleich rv D / µ, wobei D der Durchmesser der Kugel und µ die kinematische Viskosität der Luft ist –, stellen wir fest, dass der Luftwiderstandsbeiwert plötzlich abfällt, wenn der Luftstrom an der Oberfläche der Kugel von glatt und laminar zu turbulent wird (siehe rechts).

Wenn der Luftstrom laminar ist und der Luftwiderstandsbeiwert hoch ist, „trennt“ sich die Grenzschicht der Luft auf der Oberfläche der Kugel relativ früh, wenn sie über die Kugel strömt, und erzeugt Wirbel in ihrem Gefolge. Wenn der Luftstrom jedoch turbulent ist, haftet die Grenzschicht länger an der Kugel. Dies führt zu einer späten Trennung und einem geringen Widerstand.

Die Reynoldzahl, bei der der Luftwiderstandsbeiwert abfällt, hängt daher von der Oberflächenrauhigkeit der Kugel ab. Zum Beispiel haben Golfbälle, die stark genoppt sind, eine ziemlich hohe Oberflächenrauhigkeit und der Luftwiderstandsbeiwert sinkt bei einer relativ niedrigen Reynoldschen Zahl (~ 2 x 104). Ein Fußball ist jedoch glatter als ein Golfball und der kritische Übergang wird bei einer viel höheren Reynold-Zahl (~ 4 x 105) erreicht.

Drag vs Speed

Das Ergebnis all dessen ist, dass ein sich langsam bewegender Fußball eine relativ hohe Bremskraft erfährt. Wenn Sie den Ball jedoch schnell genug treffen können, so dass der Luftstrom darüber turbulent ist, erfährt der Ball eine kleine Verzögerungskraft (siehe rechts). Ein sich schnell bewegender Fußball ist daher ein doppeltes Problem für einen Torhüter, der auf eine Rettung hofft – der Ball bewegt sich nicht nur mit hoher Geschwindigkeit, sondern verlangsamt sich auch nicht so stark, wie erwartet. Vielleicht verstehen die besten Torhüter intuitiv mehr Fußballphysik, als sie erkennen.

1976 führten Peter Bearman und Kollegen vom Imperial College, London, eine klassische Reihe von Experimenten an Golfbällen durch. Sie fanden heraus, dass die Erhöhung des Spins auf einem Ball einen höheren Auftriebskoeffizienten und damit eine größere Magnuskraft erzeugte. Eine Erhöhung der Geschwindigkeit bei einem gegebenen Spin verringerte jedoch den Auftriebskoeffizienten.

Dies bedeutet für einen Fußball, dass ein sich langsam bewegender Ball mit viel Spin eine größere Seitenkraft hat als ein sich schnell bewegender Ball mit dem gleichen Spin. Wenn sich ein Ball am Ende seiner Flugbahn verlangsamt, wird die Kurve ausgeprägter.

Roberto Carlos revisited

Wie erklärt das alles den Freistoß von Roberto Carlos? Obwohl wir uns nicht ganz sicher sein können, ist das Folgende wahrscheinlich eine faire Erklärung dafür, was vor sich ging.

Carlos trat den Ball mit der Außenseite seines linken Fußes, um ihn gegen den Uhrzeigersinn drehen zu lassen, als er darauf schaute. Die Bedingungen waren trocken, so dass die Menge an Spin, die er dem Ball gab, hoch war, vielleicht über 10 Umdrehungen pro Sekunde. Wenn er es mit der Außenseite seines Fußes trat, konnte er den Ball hart schlagen, wahrscheinlich über 30 ms-1 (70 mph).

Der Luftstrom über die Oberfläche des Balls war turbulent, was dem Ball einen relativ geringen Luftwiderstand verlieh. Irgendwann in seinem Weg – vielleicht um die 10–m-Marke (oder ungefähr an der Position der Verteidigungsmauer) – sank die Geschwindigkeit des Balls, so dass er in das laminare Strömungsregime eintrat.

Dies erhöhte den Luftwiderstand des Balls erheblich, wodurch er noch langsamer wurde. Dadurch konnte die seitliche Magnus-Kraft, die den Ball in Richtung Tor beugte, noch stärker zum Tragen kommen. Unter der Annahme, dass die Spinmenge nicht zu stark abgeklungen war, erhöhte sich der Luftwiderstandsbeiwert.

Dies führte zu einer noch größeren Seitenkraft und ließ den Ball weiter biegen. Schließlich, als sich der Ball verlangsamte, wurde die Biegung noch übertriebener (möglicherweise aufgrund der Erhöhung des Auftriebskoeffizienten), bis er die Rückseite des Netzes traf – sehr zur Freude der Physiker in der Menge.

Aktuelle Forschung zur Fußballbewegung

Die Fußballforschung umfasst mehr als nur die Untersuchung der Bewegung des Balls im Flug. Forscher sind auch daran interessiert herauszufinden, wie ein Fußballer tatsächlich einen Ball tritt. Zum Beispiel hat Stanley Plagenhof von der University of Massachusetts in den USA die Kinematik des Tritts untersucht – mit anderen Worten, die beteiligten Kräfte ignoriert. Andere Forscher, wie Elizabeth Roberts und Mitarbeiter an der University of Wisconsin, haben dynamische Analysen des Tritts durchgeführt, wobei die beteiligten Kräfte berücksichtigt wurden.

Diese experimentellen Ansätze haben einige hervorragende Ergebnisse erbracht, obwohl noch viele Herausforderungen bestehen. Eines der kritischsten Probleme ist die Schwierigkeit, die körperliche Bewegung des Menschen zu messen, zum Teil, weil ihre Bewegungen so unvorhersehbar sind. Die jüngsten Fortschritte bei der Analyse von Bewegungen mit Computern haben jedoch in der Sportwissenschaft viel Aufmerksamkeit erregt, und mit Hilfe neuer wissenschaftlicher Methoden ist es nun möglich, einigermaßen genaue Messungen der menschlichen Bewegung vorzunehmen.

Zum Beispiel haben zwei der Autoren (TA und TA) und ein Forschungsteam an der Yamagata University in Japan einen computergestützten wissenschaftlichen Ansatz in Verbindung mit den konventionelleren dynamischen Methoden verwendet, um die Art und Weise zu simulieren, wie Spieler einen Ball treten. Diese Simulationen haben die Schaffung von „virtuellen“ Fußballspielern verschiedener Art – von Anfängern und Kleinkindern bis hin zu Profis – ermöglicht, um im virtuellen Raum und in der virtuellen Zeit am Computer zu spielen.

Sportgerätehersteller wie die ASICS Corporation, die das Yamagata-Projekt sponsern, sind ebenfalls an der Arbeit interessiert. Sie hoffen, die Ergebnisse nutzen zu können, um sicherere und leistungsfähigere Sportgeräte zu entwickeln, die schneller und wirtschaftlicher hergestellt werden können als bestehende Produkte.

Wie man einen Ball krümmt

Die Bewegung der Spieler wurde mit Hochgeschwindigkeitsvideo mit 4500 Bildern pro Sekunde verfolgt, und der Aufprall des Fußes auf den Ball wurde dann mit Finite-Elemente-Analyse untersucht. Die ersten Experimente bewiesen, was die meisten Fußballer wissen: wenn Sie den Ball mit dem Spann geradeaus schlagen, so dass der Fuß den Ball in einer Linie mit dem Schwerpunkt des Balls trifft, schießt der Ball in einer geraden Linie ab. Wenn Sie den Ball jedoch mit der Vorderseite Ihres Fußes und mit einem Winkel zwischen Bein und Fuß von 90 ° (siehe links) treten, krümmt er sich im Flug. In diesem Fall ist der Aufprall außermittig. Dies bewirkt, dass die aufgebrachte Kraft als Drehmoment wirkt, was dem Ball einen Spin verleiht.

Die experimentellen Ergebnisse zeigten auch, dass der vom Ball aufgenommene Spin eng mit dem Reibungskoeffizienten zwischen Fuß und Ball und dem versetzten Abstand des Fußes vom Schwerpunkt des Balls zusammenhängt. Ein Finite-Elemente-Modell des Aufpralls des Fußes auf den Ball, geschrieben mit DYTRAN und PATRAN Software von der MacNeal Schwendler Corporation, wurde verwendet, um diese Ereignisse numerisch zu analysieren. Diese Studie zeigte, dass eine Erhöhung des Reibungskoeffizienten zwischen Ball und Fuß dazu führte, dass der Ball mehr Spin erhielt. Es gab auch mehr Spin, wenn die versetzte Position weiter vom Schwerpunkt entfernt war.

Zwei weitere interessante Effekte wurden beobachtet. Erstens, wenn der Versatzabstand zunahm, berührte der Fuß den Ball für eine kürzere Zeit und über einen kleineren Bereich, was dazu führte, dass sowohl der Spin als auch die Geschwindigkeit des Balls abnahmen. Es gibt daher einen optimalen Ort, um den Ball zu treffen, wenn Sie maximalen Spin wünschen: Wenn Sie den Ball zu nahe oder zu weit vom Schwerpunkt entfernt schlagen, erhält er überhaupt keinen Spin.

Der andere interessante Effekt war, dass selbst wenn der Reibungskoeffizient Null ist, der Ball immer noch etwas Spin erhält, wenn Sie ihn mit einem Versatz von seinem Schwerpunkt treten . Obwohl in diesem Fall keine periphere Kraft parallel zum Umfang der Kugel vorhanden ist (da der Reibungskoeffizient Null ist), verformt sich die Kugel dennoch in Richtung ihrer Mitte, wodurch eine gewisse Kraft um den Schwerpunkt herum wirkt. Es ist daher möglich, einen Fußball an einem regnerischen Tag zu drehen, obwohl der Spin viel geringer ist als bei trockenen Bedingungen.

Natürlich hat die Analyse einige Einschränkungen. Die Luft außerhalb des Balls wurde ignoriert, und es wurde angenommen, dass sich die Luft innerhalb des Balls nach einem kompressiven, viskosen Fluidströmungsmodell verhielt. Idealerweise sollte die Luft sowohl innerhalb als auch außerhalb des Balls einbezogen und die Viskositäten mit Navier-Stokes-Gleichungen modelliert werden.

Es wurde auch angenommen, dass der Fuß homogen war, wenn es offensichtlich ist, dass ein echter Fuß viel komplizierter ist. Obwohl es unmöglich wäre, ein perfektes Modell zu erstellen, das jeden Faktor berücksichtigt, enthält dieses Modell die wichtigsten Funktionen.

Mit Blick auf die Zukunft planen zwei von uns (TA und TA) auch, die Wirkung verschiedener Arten von Schuhen auf das Treten eines Balls zu untersuchen. In der Zwischenzeit kombiniert ASICS die Yamagata-Finite-Elemente-Simulationen mit Biomechanik, Physiologie und Materialwissenschaften, um neue Arten von Fußballschuhen zu entwickeln. Letztlich ist es aber der Fußballer, der den Unterschied macht – und ohne Können ist Technologie wertlos.

Der Schlusspfiff

Was können wir von Roberto Carlos lernen? Wenn Sie den Ball hart genug treten, damit der Luftstrom über die Oberfläche turbulent wird, bleibt die Widerstandskraft gering und der Ball fliegt wirklich. Wenn Sie möchten, dass sich der Ball krümmt, drehen Sie ihn viel, indem Sie ihn außermittig treffen. Dies ist an einem trockenen Tag einfacher als an einem nassen Tag, kann aber unabhängig von den Bedingungen durchgeführt werden.

Der Ball krümmt sich am meisten, wenn er in das laminare Strömungsregime verlangsamt wird, daher müssen Sie üben, um sicherzustellen, dass dieser Übergang an der richtigen Stelle erfolgt – zum Beispiel kurz nachdem der Ball eine Verteidigungsmauer passiert hat. Wenn die Bedingungen nass sind, können Sie immer noch Spin bekommen, aber Sie sollten den Ball (und Ihre Stiefel) besser trocknen.

Vor fast 90 Jahren hielt JJ Thomson an der Royal Institution in London einen Vortrag über die Dynamik von Golfbällen. Er wird zitiert mit den Worten:: „Wenn wir die Erklärungen des Verhaltens des Balls akzeptieren könnten, die von vielen Mitwirkenden der sehr umfangreichen Literatur gegeben wurden, die sich um das Spiel gesammelt hat … Ich müsste Ihnen heute Abend eine neue Dynamik vorstellen und verkünden, dass Materie, wenn sie zu Bällen zusammengesetzt ist, Gesetzen eines ganz anderen Charakters gehorcht als diejenigen, die ihr Handeln unter anderen Bedingungen regeln.“

Zumindest im Fußball können wir sicher sein, dass sich die Dinge weiterentwickelt haben.

Weiterführende Literatur
https://physicsworld.com/a/the-physics-of-football/

C B Daish 1972 Die Physik der Ballspiele (The English University Press, London)

S J Haake (ed) 1996 Die Technik des Sports (A A Balkema, Rotterdam)

R D Mehta 1985 Aerodynamik von Sportbällen Ann. Rev. Fluid Mech. 17 151-189

Fragen zu Druck und Fußbällen