Oktagon

Reguläres Achteck

Typ

Reguläres Polygon

Kanten und Eckpunkte

Schläfli Symbol

{8}, t{4}

Coxeter-Dynkin-Diagramme

Symmetriegruppe

Dieder (D8), Ordnung 2×8

Innenwinkel (Grad)

135°

Eigenschaften

Konvex, zyklisch, gleichseitig, isogonal, isotoxal

In der Geometrie ist ein Achteck (aus dem Griechischen ὀκτάγωνον oktágōnon, „acht Winkel“) ein achtseitiges Polygon oder 8-gon.

Ein regelmäßiges Achteck hat Schläfli Symbol {8} und kann auch als quasireguläres abgeschnittenes Quadrat konstruiert werden, t{4}, das zwei Arten von Kanten abwechselt. Ein abgeschnittenes Achteck, t{8} ist ein Hexadecagon, {16}. Ein 3D-Analogon des Achtecks kann das Rhombikuboktaeder mit den dreieckigen Flächen darauf wie die ersetzten Kanten sein, wenn man das Achteck als ein abgeschnittenes Quadrat betrachtet.

Eigenschaften des allgemeinen Achtecks

Die Summe aller Innenwinkel eines Achtecks beträgt 1080 °. Wie bei allen Polygonen betragen die Außenwinkel insgesamt 360 °.

Wenn Quadrate alle innen oder alle außen an den Seiten eines Achtecks konstruiert sind, bilden die Mittelpunkte der Segmente, die die Zentren gegenüberliegender Quadrate verbinden, ein Viereck, das sowohl äquidiagonal als auch orthodiagonal ist (dh dessen Diagonalen gleich lang und rechtwinklig zueinander sind).: Prop. 9

Das Mittelpunkt-Achteck eines Referenz-Achtecks hat seine acht Eckpunkte an den Mittelpunkten der Seiten des Referenz-Achtecks. Wenn Quadrate alle intern oder alle extern an den Seiten des Mittelpunkt-Achtecks konstruiert sind, bilden die Mittelpunkte der Segmente, die die Zentren der gegenüberliegenden Quadrate verbinden, selbst die Eckpunkte eines Quadrats.: Prop. 10

Reguläres Achteck

Ein reguläres Achteck ist eine geschlossene Figur mit Seiten gleicher Länge und Innenwinkeln gleicher Größe. Es hat acht Linien reflektierender Symmetrie und Rotationssymmetrie der Ordnung 8. Ein regelmäßiges Achteck wird durch das Schläfli-Symbol {8} dargestellt.Der Innenwinkel an jedem Scheitelpunkt eines regulären Achtecks beträgt 135 ° ( 3 π 4 {\displaystyle \scriptstyle {\frac {3\pi }{4}}} Bogenmaß). Der zentrale Winkel beträgt 45° ( π 4 {\displaystyle \scriptstyle {\frac {\pi }{4}}} Bogenmaß).

Fläche

Die Fläche eines regelmäßigen Achtecks der Seitenlänge a ist gegeben durch

A = 20 ⁡ π 8 a 2 = 2 ( 1 + 2 ) a 2 ≃ 4,828 a 2 . {\displaystyle A=2\cot {\frac {\pi }{8}}ein^{2}=2(1+{\ sqrt {2}})a^{2}\simeq 4.828\,a^{2}.}

Bezogen auf den Radius R beträgt die Fläche

A = 4 sin ⁡ π 4 R 2 = 2 2 R 2 ≃ 2,828 R 2 . {\displaystyle A=4\sin {\frac {\pi }{4}}R^{2}=2{\sqrt {2}}R^{2}\simeq 2,828\,R^{2}.}

Bezogen auf das Apothem r (siehe auch beschriftete Abbildung)ist die Fläche

A = 8 tan ⁡ π 8 r 2 = 8 ( 2 − 1 ) r 2 ≃ 3,314 r 2 . {\displaystyle A=8\tan {\frac {\pi }{8}}r^{2}=8({\sqrt {2}}-1)r^{2}\simeq 3,314\,r^{2}.}

Diese letzten beiden Koeffizienten sind der Wert von pi, der Fläche des Einheitskreises.

Die Fläche kann auch ausgedrückt werden als

A = S 2 – a 2 , {\displaystyle \,\!A = S ^{2}-ein^{2},}

wobei S die Spannweite des Achtecks oder die zweitkürzeste Diagonale ist; und a ist die Länge einer der Seiten oder Basen. Dies lässt sich leicht beweisen, wenn man ein Achteck nimmt, ein Quadrat um die Außenseite zeichnet (wobei darauf zu achten ist, dass vier der acht Seiten mit den vier Seiten des Quadrats überlappen) und dann die Eckdreiecke (dies sind 45-45-90 Dreiecke) nimmt und platziert sie mit rechten Winkeln nach innen gerichtet und bilden ein Quadrat. Die Kanten dieses Quadrats sind jeweils die Länge der Basis.

Angesichts der Länge einer Seite a beträgt die Spanne S

S = a 2 + a + a 2 = ( 1 + 2 ) a ≈ 2,414 a. {\displaystyle S={\frac {a}{\sqrt {2}}}+a+{\frac {a}{\sqrt {2}}}=(1+{\ sqrt {2}})a\ungefähr 2.414ein.}

Die Spanne ist also gleich dem Silberverhältnis mal der Seite, a.

Die Fläche ist dann wie oben:

A = ( ( 1 + 2 ) a ) 2 − a 2 = 2 ( 1 + 2 ) a 2 ≈ 4,828 a 2 . {\displaystyle A=((1+{\sqrt {2}})a)^{2}-a^{2}=2(1+{\ sqrt {2}})a^{2}\ungefähr 4,828a^{2}.}

Ausgedrückt als Spanne beträgt die Fläche

A = 2 (2 − 1 ) S 2 ≈ 0,828 S 2 . {\displaystyle A=2({\sqrt {2}}-1)S^{2}\ungefähr 0,828S^{2}.}

Eine andere einfache Formel für die Fläche ist

A = 2 a S. {\displaystyle {\displaystyle {A=2 }}.}

Häufiger ist die Spannweite S bekannt, und die Länge der Seiten a ist zu bestimmen, wie beim Schneiden eines quadratischen Materialstücks in ein regelmäßiges Achteck. Aus dem Obigen

a ≈ S / 2.414. {\displaystyle a\ca. S/2.414.}

Die beiden Endlängen e auf jeder Seite (die Schenkellängen der vom Quadrat abgeschnittenen Dreiecke (im Bild grün)) sowie e = a / 2 , {\displaystyle e=a/{\sqrt {2}},} können als

e = ( S − a ) / 2 berechnet werden. {\displaystyle \,\!e=(S-a)/2.}

Circumradius und inradius

Der Circumradius des regulären Achtecks in Bezug auf die Seitenlänge a ist

R = ( 4 + 2 2 2 ) a , {\displaystyle R=\left({\frac {\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}{2}}\ rechts)a,}

und das inradius ist

r = ( 1 + 2 2 ) a. {\displaystyle r=\links({\frac {1+{\sqrt {2}}}{2}}\ rechts)a.}

(das ist die Hälfte des Silberverhältnisses mal der Seite a oder die Hälfte der Spannweite S)

Diagonalen

Das reguläre Achteck hat in Bezug auf die Seitenlänge a drei verschiedene Arten von Diagonalen:

• Kurze Diagonale;
• Mittlere Diagonale (auch Spannweite oder Höhe genannt), die doppelt so lang ist wie der Inradius;
• Lange Diagonale, die doppelt so lang ist wie der Circumradius.

Die Formel für jeden von ihnen folgt aus den Grundprinzipien der Geometrie. Hier sind die Formeln für ihre Länge:

• Kurze Diagonale: a 2 + 2 {\displaystyle a{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}} ;
• Mittlere Diagonale: ( 1 + 2 ) a {\displaystyle (1+{\sqrt {2}})a} ; (Silberverhältnis mal a)
• Lange Diagonale: a 4 + 2 2 {\displaystyle a{\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}} .

Bau- und Grundstückseigenschaften

Ein regelmäßiges Achteck an einem gegebenen Umkreis kann wie folgt konstruiert werden:

1. Zeichnen Sie einen Kreis und einen Durchmesser AOE, wobei O der Mittelpunkt und A, E Punkte auf dem Umkreis sind.
2. Zeichnen Sie einen weiteren Durchmesser GOC senkrecht zu AOE.
3. (Beachten Sie nebenbei, dass A, C, E, G Eckpunkte eines Quadrats sind).
4. Zeichnen Sie die Winkelhalbierenden der rechten Winkel GOA und EOG und machen Sie zwei weitere Durchmesser HOD und FOB.
5. A, B, C, D, E,F, G,H sind die Eckpunkte des Achtecks.

Ein reguläres Achteck kann mit einem Lineal und einem Kompass als 8 = 23, einer Potenz von zwei, konstruiert werden:

Das reguläre Achteck kann mit Meccano-Stäben konstruiert werden. Zwölf Balken der Größe 4, drei Balken der Größe 5 und zwei Balken der Größe 6 sind erforderlich.

Jede Seite eines regelmäßigen Achtecks teilt einen halben rechten Winkel in der Mitte des Kreises, der seine Eckpunkte verbindet. Seine Fläche kann somit als Summe von 8 gleichschenkligen Dreiecken berechnet werden, was zu dem Ergebnis führt:

Fläche = 2 a 2 ( 2 + 1 ) {\displaystyle {\text{Fläche}}=2a^{2}({\sqrt {2}}+1)}

für ein Achteck der Seite a.

Standardkoordinaten

Die Koordinaten für die Eckpunkte eines regulären Achtecks, die am Ursprung zentriert sind und die Seitenlänge 2 haben, sind:

• (±1, ±(1+√2))
• (±(1+√2), ±1).

Präparation

8- würfelprojektion	24 Rhombendissektion
	Regulär	Isotoxal

Coxeter gibt an, dass jedes Zonogon (ein 2m-Gon, dessen gegenüberliegende Seiten parallel und gleich lang sind) in m (m-1) / 2 zerlegt werden kann parallelograms.In dies gilt insbesondere für regelmäßige Polygone mit gleichmäßig vielen Seiten, in diesem Fall sind die Parallelogramme alle Rhomben. Für das reguläre Achteck ist m = 4, und es kann in 6 Rauten unterteilt werden, wobei ein Beispiel unten gezeigt wird. Diese Zerlegung kann als 6 von 24 Flächen in einer Petrie-Polygonprojektionsebene des Tesserakts gesehen werden. Die Liste (Sequenz A006245 im OEIS) definiert die Anzahl der Lösungen als 8, durch die 8 Orientierungen dieser einen Dissektion. Diese Quadrate und Rauten werden in den Ammann–Beenker Fliesen verwendet.

Reguläres Achteck seziert

Tesseract

4 Rauten und 2 Quadrat

Skew octagon

Ein Skew Octagon ist ein Skew-Polygon mit 8 Ecken und Kanten, das jedoch nicht in derselben Ebene vorhanden ist. Das Innere eines solchen Achtecks ist nicht allgemein definiert. Ein schräges Zick-Zack-Achteck hat Scheitelpunkte, die sich zwischen zwei parallelen Ebenen abwechseln.

Ein reguläres Skew Octagon ist vertex-transitiv mit gleichen Kantenlängen. In 3-Dimensionen wird es ein Zick-Zack-Schräg-Achteck sein und kann in den Eckpunkten und Seitenkanten eines quadratischen Antiprismas mit dem gleichen D4d, Symmetrie, Ordnung 16 gesehen werden.

Petrie-Polygone

Das reguläre Skew-Achteck ist das Petrie-Polygon für diese höherdimensionalen regelmäßigen und gleichmäßigen Polytope, die in diesen orthogonalen Skew-Projektionen in A7-, B4- und D5-Coxeter-Ebenen gezeigt werden.

A7	T5	B4
7-simplex	5-demicube	16 Zellen	Tesserakt

Symmetrie des Achtecks

Symmetrie

Die 11 Symmetrien eines regulären Achtecks. Reflexionslinien sind blau durch Scheitelpunkte, lila durch Kanten und Gyrationsordnungen sind in der Mitte angegeben. Vertices werden durch ihre Symmetrieposition gefärbt.

Das reguläre Achteck hat Dih8 Symmetrie, Ordnung 16. Es gibt 3 diedrische Untergruppen: Dih4, Dih2 und Dih1 und 4 zyklische Untergruppen: Z8, Z4, Z2 und Z1, wobei die letzte keine Symmetrie impliziert.

Beispiel Achtecke nach Symmetrie

r16
d8	g8	Seite 8
d4	g4	Seite 4
d2	g2	p2
a1

Auf dem regulären Achteck gibt es 11 verschiedene Symmetrien. John Conway bezeichnet die vollständige Symmetrie als r16. Die Diedersymmetrien werden unterteilt, je nachdem, ob sie durch Scheitelpunkte (d für diagonale) oder Kanten (p für senkrechte) verlaufen. Die vollständige Symmetrie der regulären Form ist r16 und keine Symmetrie ist mit a1 bezeichnet.

Die häufigsten hochsymmetrischen Achtecke sind p8, ein isogonales Achteck, das aus vier Spiegeln besteht, die lange und kurze Kanten abwechseln können, und d8, ein isotoxales Achteck, das mit gleichen Kantenlängen konstruiert ist, aber Scheitelpunkte, die zwei verschiedene Innenwinkel abwechseln. Diese beiden Formen sind duale Formen und haben die halbe Symmetriereihenfolge des regulären Achtecks.

Jede Untergruppensymmetrie erlaubt einen oder mehrere Freiheitsgrade für unregelmäßige Formen. Nur die g8-Untergruppe hat keine Freiheitsgrade, sondern kann als gerichtete Kanten gesehen werden.

Verwendung von Achtecken

Die achteckige Form wird als Gestaltungselement in der Architektur verwendet. Der Felsendom hat einen charakteristischen achteckigen Grundriss. Der Turm der Winde in Athen ist ein weiteres Beispiel für eine achteckige Struktur. Der achteckige Plan war auch in der Kirchenarchitektur wie der St. George’s Cathedral, Addis Abeba, der Basilika San Vitale (in Ravenna, Italien), Castel del Monte (Apulien, Italien), dem Florentiner Baptisterium, der Zum Friedefürsten Kirche (Deutschland) und einer Reihe von achteckigen Kirchen in Norwegen. Der zentrale Raum im Aachener Dom, die Karolingische Pfalzkapelle, hat einen regelmäßigen achteckigen Grundriss. Die Verwendung von Achtecken in Kirchen umfasst auch kleinere Gestaltungselemente wie die achteckige Apsis der Nidaros-Kathedrale.

Architekten wie John Andrews haben achteckige Grundrisse in Gebäuden verwendet, um Bürobereiche funktional von der Gebäudetechnik zu trennen, insbesondere die Intelsat-Zentrale in Washington DC, Callam-Büros in Canberra und Octagon-Büros in Parramatta, Australien.

Andere Verwendungen

• 

  Regenschirme haben oft einen achteckigen Umriss.

• 

  Das berühmte Buchara-Teppichdesign enthält ein achteckiges „Elefantenfuß“ -Motiv.

• 

  Das Blocklayout der Straße & in Barcelonas Stadtteil Eixample basiert auf unregelmäßigen Achtecken

• 

  Janggi verwendet achteckige Stücke.

• 

  Japanische Lotteriemaschinen haben oft achteckige Form.

• 

  Stoppschild in englischsprachigen Ländern sowie in den meisten europäischen Ländern verwendet

• 

  Ein Symbol eines Stoppschildes mit einer Hand in der Mitte.

• 

  Die Trigramme des taoistischen Bagua sind oft achteckig angeordnet

• 

  Berühmte achteckige Goldschale aus dem Schiffswrack von Belitung

• 

  Der Unterricht am Shimer College findet traditionell an achteckigen Tischen statt

• 

  Das Labyrinth der Kathedrale von Reims mit einer quasi achteckigen Form.

• 

  Die Bewegung der Analogsticks des Nintendo 64-Controllers, des GameCube-Controllers, des Wii-Nunchuk und des Classic-Controllers wird durch einen gedrehten achteckigen Bereich eingeschränkt, sodass sich der Stick nur in acht verschiedene Richtungen bewegen kann.

Abgeleitete Zahlen

• 

  Die abgeschnittene quadratische Fliese hat 2 Achtecke um jeden Scheitelpunkt.
  

• 

  Ein achteckiges Prisma enthält zwei achteckige Flächen.
  

• 

  Ein achteckiges Antiprisma enthält zwei achteckige Flächen.
  

• 

  Das abgeschnittene Kuboktaeder enthält 6 achteckige Flächen.
  

Verwandte Polytope

Das Achteck als abgeschnittenes Quadrat ist das erste in einer Folge abgeschnittener Hyperwürfel:

Abgeschnittene Hyperwürfel

Bild								…
Name	Achteck	Abgeschnittener Würfel	Abgeschnittener Tesserakt	Abgeschnittener 5-Würfel	Abgeschnittener 6-Würfel	Abgeschnittener 7-Würfel	Abgeschnittener 8-Würfel
Coxeter-Diagramm
Scheitelpunktzahl	( )v( )	( )v{ }	( )v{3}	( )v{3,3}	( ) v{3,3,3}	( ) v{3,3,3,3}	( ) v{3,3,3,3,3}

Als erweitertes Quadrat ist es auch das erste in einer Folge erweiterter Hyperwürfel:

Erweiterte Hyperwürfel

							…
Octagon	Rhombicuboctahedron	Runcinated tesseract	Gestericated 5-Würfel	Pentelliert 6-Würfel	Hexagonal 7-Würfel	Heptelliert 8-Würfel

Siehe auch

• Bumper pool
• Octagon house
• Octagonal number
• Octagram
• Oktaeder, 3D-Form mit acht Gesichtern.
• Oktogon, eine wichtige Kreuzung in Budapest, Ungarn
• Rub el Hizb (auch bekannt als Al Quds Star und als Octa Star)
• Geglättetes Achteck

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• Octagon Calculator
• Definition und Eigenschaften eines Achtecks mit interaktiver Animation