Polígono regular
{8}, t{4}
Diedro (D8), orden 2×8
135°
Convexo, cíclico, equilátero, isogonal, isotoxal
En geometría, un octágono (del griego okκτάγωνον oktágōnon, «ocho ángulos») es un polígono de ocho lados o 8-gon.
Un octágono regular tiene el símbolo Schläfli {8} y también se puede construir como un cuadrado truncado cuasiregular, t{4}, que alterna dos tipos de aristas. Un octágono truncado, t{8} es un hexadecágono, {16}. Un análogo 3D del octágono puede ser el rombicuboctaedro con las caras triangulares como los bordes reemplazados, si se considera que el octágono es un cuadrado truncado.
Propiedades del octágono general
La suma de todos los ángulos internos de cualquier octágono es de 1080°. Al igual que con todos los polígonos, los ángulos externos suman 360°.
Si los cuadrados se construyen todos internamente o todos externamente a los lados de un octágono, entonces los puntos medios de los segmentos que conectan los centros de cuadrados opuestos forman un cuadrilátero que es a la vez equidiagonal y ortodiagonal (es decir, cuyas diagonales son iguales en longitud y en ángulos rectos entre sí).: Apuntalar. 9
El octágono de punto medio de un octágono de referencia tiene sus ocho vértices en los puntos medios de los lados del octágono de referencia. Si los cuadrados se construyen todos internamente o todos externamente a los lados del octágono de punto medio, entonces los puntos medios de los segmentos que conectan los centros de los cuadrados opuestos forman los vértices de un cuadrado.: Apuntalar. 10
Octágono regular
Un octágono regular es una figura cerrada con lados de la misma longitud y ángulos internos del mismo tamaño. Tiene ocho líneas de simetría reflectante y simetría rotacional de orden 8. Un octágono regular está representado por el símbolo Schläfli {8}.El ángulo interno en cada vértice de un octágono regular es de 135° ( 3 π 4 {\displaystyle \scriptstyle {\frac {3\pi }{4}}} 
Área
El área de un octágono regular de longitud lateral a viene dada por
A = 2 cot π 8 a 2 = 2 (1 + 2 ) a 2 4 4.828 a 2 . {\displaystyle A = 2\cot {\frac {\pi }{8}} a^{2}=2(1+{\sqrt {2}}) a^{2}\simeq 4.828\,a^{2}.}
En términos del circunradio R, el área es
A = 4 sin π 4 R 2 = 2 2 R 2 2 2.828 R 2 . {\displaystyle A=4\sin {\frac {\pi }{4}}R^{2}=2{\sqrt {2}}R^{2}\simeq 2.828\,R^{2}.}
En términos de la apotema r (ver también figura inscrita), el área es
A = 8 tan π 8 r 2 = 8 ( 2 − 1 ) r 2 ≃ 3.314 r 2 . {\displaystyle A = 8 \ tan {\frac {\pi }{8}} r^{2} = 8 ({\sqrt {2}}-1) r^{2}\simeq 3.314\,r^{2}.}
Estos dos últimos coeficientes encierran el valor de pi, el área del círculo unitario.
El área también se puede expresar como
A = S 2-a 2, {\displaystyle \,\!A = S^{2} – a^{2},}
donde S es el intervalo del octágono, o la segunda diagonal más corta; y a es la longitud de uno de los lados, o bases. Esto se prueba fácilmente si uno toma un octágono, dibuja un cuadrado alrededor del exterior (asegurándose de que cuatro de los ocho lados se superpongan con los cuatro lados del cuadrado) y luego toma los triángulos de las esquinas (estos son 45-45-90 triángulos) y los coloca con ángulos rectos apuntando hacia adentro, formando un cuadrado. Los bordes de este cuadrado son cada uno de la longitud de la base.
Dada la longitud de un lado a, el intervalo S es
S = a 2 + a + a 2 = ( 1 + 2 ) a ≈ 2.414 a . {\displaystyle S={\frac {a}{\sqrt {2}}}+un+{\frac {a}{\sqrt {2}}}=(1+{\sqrt {2}})a\aprox 2.414 una.}
El intervalo, entonces, es igual a la proporción de plata por el lado, a.
El área es entonces como arriba:
A = ( ( 1 + 2 ) a ) 2 − a 2 = 2 ( 1 + 2 ) a 2 ≈ 4.828 a 2 . {\displaystyle A=((1+{\sqrt {2}})a)^{2}-un^{2}=2(1+{\sqrt {2}})a^{2}\approx 4.828 a^{2}.}
Expresado en términos del intervalo, el área es
A = 2 (2 – 1) S 2 ≈ 0.828 S 2 . {\displaystyle A=2 ({\sqrt {2}}-1) S^{2}\approx 0.828 S^{2}.}
Otra fórmula simple para el área es
A = 2 a S. {\displaystyle \ A=2aS.}
Más a menudo se conoce el tramo S, y la longitud de los lados, a, debe determinarse, como cuando se corta una pieza cuadrada de material en un octágono regular. De lo anterior,
a ≈ S / 2.414. {\displaystyle a\approx S/2.414.}
Las dos longitudes de extremo e a cada lado (las longitudes de las patas de los triángulos ( verdes en la imagen) truncadas desde el cuadrado), además de ser e = a / 2 , {\displaystyle e=a/{\sqrt {2}},} 
e = (S − a ) / 2. {\displaystyle \,\!e = (S-a) / 2.}
Circunradio y inradius
El circunradio del octágono regular en términos de la longitud lateral de un es
R = ( 4 + 2 2 2 ) a , {\displaystyle R=\left({\frac {\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}{2}}\derecho)a,}
y el inradius es
r = ( 1 + 2 2). {\displaystyle r=\left({\frac {1+{\sqrt {2}}}{2}}\derecho)a.}
(es decir, la mitad de la proporción de plata por el lado, a, o la mitad del vano, S)
Diagonales
El octágono regular, en términos de la longitud del lado a, tiene tres tipos diferentes de diagonales:
- Diagonal corta;
- Diagonal media (también llamada amplitud o altura), que es el doble de la longitud del radio de entrada;
- Diagonal larga, que es el doble de la longitud del radio de entrada.
La fórmula para cada uno de ellos sigue los principios básicos de la geometría. Aquí están las fórmulas para su longitud:
- Corta en diagonal: un 2 + 2 {\displaystyle un{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}
;
- Medio diagonal: ( 1 + 2) {\displaystyle (1+{\sqrt {2}})a}
; (plata proporción de veces)
- diagonales Largo: 4 + 2 2 {\displaystyle un{\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}}
.
Construcción y propiedades elementales
Se puede construir un octágono regular en un círculo circuncírculo dado de la siguiente manera:
- Dibuja un círculo y un AOE de diámetro, donde O es el centro y A, E son puntos en el círculo circunscrito.
- Dibujar otro diámetro GOC, perpendicular a AOE.
- (Nota de paso que A, C,E, G son vértices de un cuadrado).
- Dibuja las bisectoras de los ángulos rectos GOA y EOG, haciendo dos diámetros más HOD y FOB.
- a,B,C,D,E,F,G,H son los vértices del octágono.
(La construcción es muy similar a la del hexadecágono a una longitud de lado dada.)
Un octágono regular se puede construir usando una regla recta y una brújula, como 8 = 23, una potencia de dos:
El octágono regular se puede construir con barras mecano. Se requieren doce barras de tamaño 4, tres barras de tamaño 5 y dos barras de tamaño 6.
Cada lado de un octágono regular subestima medio ángulo recto en el centro del círculo que conecta sus vértices. Por lo tanto, su área se puede calcular como la suma de 8 triángulos isósceles, lo que conduce al resultado:
Area = 2 2 ( 2 + 1 ) {\displaystyle {\text{Área}}=2a^{2}({\sqrt {2}}+1)}
para un octágono de lado.
Estándar de coordenadas
Las coordenadas de los vértices de un octágono regular centrado en el origen y con laterales de longitud y 2 son:
- (±1, ±(1+√2))
- (±(1+√2), ±1).
Disección
| 8-proyección de cubo | disección de 24 rombos | |
|---|---|---|
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 Tamaño de disección rómbica isotoxal de 8 gon |
 Isotoxal |
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Coxeter establece que cada zonogon (un 2m-gon cuyos lados opuestos son paralelos y de igual longitud) se puede diseccionar en m (m-1) / 2 parallelograms.In en particular, esto es cierto para polígonos regulares con muchos lados uniformes, en cuyo caso los paralelogramos son todos rombos. Para el octágono regular, m=4, y se puede dividir en 6 rombos, con un ejemplo que se muestra a continuación. Esta descomposición se puede ver como 6 de 24 caras en un plano de proyección de polígono Petrie del teseracto. La lista (secuencia A006245 en el OEIS) define el número de soluciones como 8, por las 8 orientaciones de esta disección. Estos cuadrados y rombos se utilizan en los mosaicos de Ammann-Beenker.
 Teseracto |
 4 rombos y 2 cuadrados |
Octágono oblicuo
Un octágono oblicuo es un polígono oblicuo con 8 vértices y aristas, pero que no existe en el mismo plano. El interior de tal octágono no está generalmente definido. Un octágono en zig-zag sesgado tiene vértices alternando entre dos planos paralelos.
Un octágono oblicuo regular es transitivo por vértices con longitudes de borde iguales. En 3 dimensiones será un octágono oblicuo en zig-zag y se puede ver en los vértices y bordes laterales de un antiprisma cuadrado con la misma D4d, simetría, orden 16.
Polígonos de Petrie
El octágono oblicuo regular es el polígono de Petrie para estos politopos regulares y uniformes de dimensiones superiores, que se muestran en estas proyecciones ortogonales oblicuas de planos Coxeter A7, B4 y D5.
| A7 | D5 | B4 | |
|---|---|---|---|
 7-simplex |
 5-demicube |
 16 células |
 Tesseracto |
Simetría del octágono
 |
Las 11 simetrías de un octágono regular. Las líneas de reflejos son azules a través de los vértices, moradas a través de los bordes, y las órdenes de giro se dan en el centro. Los vértices están coloreados por su posición de simetría. |
El octágono regular tiene simetría Dih8, orden 16. Hay 3 subgrupos diédricos: Dih4, Dih2 y Dih1,y 4 subgrupos cíclicos: Z8, Z4, Z2 y Z1, el último sin simetría.
 r16 |
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|---|---|---|
 d8 |
 g8 |
 p8 |
 d4 |
 g4 |
 p4 |
 d2 |
 g2 |
 p2 |
 a1 |
||
En el octágono regular, hay 11 simetrías distintas. John Conway califica a full symmetry como r16. Las simetrías diédricas se dividen dependiendo de si pasan a través de vértices (d para diagonal) o aristas (p para perpendiculares) Las simetrías cíclicas en la columna central se etiquetan como g para sus órdenes de giro central. La simetría completa de la forma regular es r16 y ninguna simetría se etiqueta a1.
Los octógonos de alta simetría más comunes son p8, un octógono isogonal construido por cuatro espejos que pueden alternar bordes largos y cortos, y d8, un octógono isotoxal construido con longitudes de borde iguales, pero vértices alternando dos ángulos internos diferentes. Estas dos formas son duales entre sí y tienen la mitad del orden de simetría del octágono regular.
Cada simetría de subgrupo permite uno o más grados de libertad para formas irregulares. Solo el subgrupo g8 no tiene grados de libertad, pero puede verse como bordes dirigidos.
Usos de octógonos
La forma octogonal se utiliza como elemento de diseño en la arquitectura. La Cúpula de la Roca tiene una característica planta octogonal. La Torre de los Vientos en Atenas es otro ejemplo de estructura octogonal. La planta octogonal también ha estado en la arquitectura de iglesias como la Catedral de San Jorge, Addis Abeba, la Basílica de San Vitale (en Rávena, Italia), Castel del Monte (Apulia, Italia), el Baptisterio de Florencia, la Iglesia de Zum Friedefürsten (Alemania) y varias iglesias octogonales en Noruega. El espacio central de la Catedral de Aquisgrán, la Capilla Palatina Carolingia, tiene una planta octogonal regular. Los usos de los octógonos en las iglesias también incluyen elementos de diseño menores, como el ábside octogonal de la catedral de Nidaros.
Arquitectos como John Andrews han utilizado diseños de pisos octogonales en edificios para separar funcionalmente las áreas de oficinas de los servicios de construcción, en particular la Sede de Intelsat en Washington D. C., las Oficinas de Callam en Canberra y las Oficinas de Octagon en Parramatta, Australia.
Otros usos
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Paraguas a menudo tienen un octogonal contorno.
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El famoso diseño de la alfombra de Bujará incorpora un motivo octogonal de «pie de elefante».
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La calle & diseño de bloque de el Eixample de Barcelona, se basa en la no-octágonos regulares
-
Janggi utiliza piezas octogonales.
-
Las máquinas de lotería japonesas a menudo tienen forma octogonal.
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señal de Stop se utiliza en los países de habla inglesa, así como en la mayoría de los países Europeos
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Un icono de signo de la parada con una mano en el medio.
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Los trigramas del bagua taoísta a menudo están dispuestos octagonalmente
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Famosa copa octogonal de oro del naufragio de Belitung
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Las clases en el Shimer College se llevan a cabo tradicionalmente alrededor de mesas octogonales
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El Laberinto de la Catedral de Reims con forma casi octogonal.
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El movimiento de los sticks analógicos del controlador Nintendo 64, el controlador GameCube, el Nunchuk Wii y el Controlador Clásico está restringido por un área octogonal rotada, lo que permite que el stick se mueva en solo ocho direcciones diferentes.
Figuras derivadas
-
El mosaico cuadrado truncado tiene 2 octógonos alrededor de cada vértice.
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An octagonal prism contains two octagonal faces.
-
An octagonal antiprism contains two octagonal faces.
-
El cuboctaedro truncado contiene 6 caras octogonales.
Politopos relacionados
El octágono, como cuadrado truncado, es el primero en una secuencia de hipercubos truncados:
| Imagen | 
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… |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Nombre de | Octágono | cubo Truncado | Trunca tesseract | Trunca 5-cubo | Truncado 6-cubo | Trunca 7-cubo | Trunca 8-cubo | |
| Coxeter diagrama | |
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| Figura de vértice | () v( ) |  () v{ } |
 () v{3} |
 () v{3,3} |
( )v{3,3,3} | ( )v{3,3,3,3} | ( )v{3,3,3,3,3} |
Como un cuadrado expandido, también es el primero en una secuencia de hipercubos expandidos:
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… |
| Octágono | Rombicuboctaedro | Teseracto rúnico | 5 cubos estericados | 6 cubos pentelados | 7 cubos hexicados | 8 cubos heptelados | |
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Ver también
- Piscina de parachoques
- Casa octagonal
- Número octagonal
- Octagrama
- Octaedro, forma 3D con ocho caras.
- Oktogon, una intersección importante en Budapest, Hungría
- Rub el Hizb (también conocido como Estrella Al Quds y Estrella Octa)
- Octágono suavizado
- ^ Wenninger, Magnus J. (1974), Polyhedron Models, Cambridge University Press, p. 9, ISBN 9780521098595.
- ^ a b Dao Thanh Oai (2015),» Triángulos equiláteros y perspectores Kiepert en números complejos», Forum Geometricorum 15, 105–114. http://forumgeom.fau.edu/FG2015volume15/FG201509index.html
- ^ Weisstein, Eric. «Octágono.»From MathWorld A A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Octagon.html
- ^ Coxeter, Recreaciones matemáticas y ensayos, Decimotercera edición, p. 141
- ^ John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, (2008) The Symmetries of Things, ISBN 978-1-56881-220-5 (Capítulo 20, símbolos generalizados de Schaefli, Tipos de simetría de un polígono pp. 275-278)
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- Octagon Calculadora
- Definición y propiedades de un octágono Con animación interactiva