ensinnäkin, tämä on kaikki perusasiat, jotka sinun tarvitsee tietää trigonometrisistä funktioista:
-
mitä sini ja kosini tietyn kulman edustavat yksikön ympyrä.
-
yllä oleva geometrinen ymmärrys antaa sinulle heti perusidentiteetin: sin2 θ + cos2 θ = 1. Tämä on vain Pythagoraan lause, jota sovelletaan Siniin ja kosiniin ja yksikköympyrään.
-
sinun tulee muistaa muiden funktioiden määritelmät sinin ja kosinin suhteen: tan x = sin x / cos x, sec x = 1/cos x jne. Se ei ole uskomattoman hyödyllistä tai tärkeää yrittää saada geometrinen tuntuu näistä kannalta yksikön ympyrä, kuitenkin.
suosittelen, että ajattelette tätä kaikkea kompleksilukujen ja radiaanien perusteella. Tämä on jotain, jonka näette vasta paljon myöhemmin laskennassa, mutta se on käsitteellisesti tarpeeksi yksinkertaista ja tehokasta, jotta sitä voidaan ymmärtää ja käyttää nyt.
tässä vaiheessa tuntee jo kompleksilukujen perussäännöt, jotka eivät ole paljon sen kummempia kuin se, että I2 = -1. Sellaisena:
(a + bi)·(c + di) = ac + adi + BCI + bdi2 = (ac – bd) + (ad + bc)·I
, joka on kertolaskun peruslähtökohta.
muistat luultavasti myös eksponenttifunktion ja luonnollisen logaritmin, joihin liittyy erityinen luku nimeltä E. Tämä luku tulee hyvin tärkeäksi myöhemmin laskennassa, joten siihen tottuminen juuri nyt ei myöskään haittaa sinua.
nyt on tämä hyvin mahtava kaava, joka tunnetaan nimellä Eulerin kaava (katso artikkelista selitys mistä se tulee, sitä ei ole liian vaikea ymmärtää tälläkään tasolla), joka antaa sinulle seuraavan uskomattoman hyödyllisen suhteen:
eix = cos (x· + i * sin (x)
periaatteessa eix jäljittää yksikön ympyrän kompleksitasossa X annetaan radiaaneina (radiaaneina, tämä on tärkeää!)
eix: n avulla voidaan nopeasti johtaa kaikki trigonometriset identiteetit. Haluat esimerkiksi tietää, mitä sin (A + b) tai cos(A+b) on (tai a-b). Korvaa x = (A + b) Eulerin kaavassa ja käytä tunnettuja eksponenttisääntöjä sen hajottamiseen:
eix =
ei (a + b) =
YVA * EIP =
·
nyt, FOILing että tuote:
· =
cos (a) cos (B) + i·cos(a) sin (b) + i * sin(a) cos(b) + I2 * sin (a) sin(B))
korvataan i2 = -1 ja ryhmitellään reaali-ja imaginaariosat:
cos (a) cos (B) + i·cos(a) sin (b) + i * sin(a) cos(b) + I2 * sin (a) sin(B)) =
+ i
mutta muista, että kaikki tämä on myös:
ei (a + b· =
YVA * EIP =
cos (a + b) + i * sin (a + b)
todellisen ja kuvitteellisen osan täytyy siis täsmätä. Se on:
cos(a+b) = cos (a)cos (b) – sin(a) sin (b)
sin (A+b) = cos (a) sin (b) + sin (a) cos (b)
eikä sinun tarvinnut opetella mitään ulkoa. Kun A = b, saadaan kaksoiskulman kaavat:
cos (2a) = cos (a) cos (a) – sin(A) sin(A) = cos2(a) – sin2 (a)
sin(2A) = cos(a) sin (A) + sin(A) cos (a) = 2 * sin(a) cos (a))
aivan. Entä sin2 (x) tai cos2(x)?
muista, että:
sin2 (x) + cos2 (x) = 1
mutta kaksinkertaisesta kulmasta kaavoja edellä:
cos(2x) = cos2 (x) – sin2 (x)
jos järjestämme molemmat näistä selkeyden vuoksi niin sin2 tai cos2 ovat yksin samalla puolella molemmille lausekkeille, ja jos lisäämme sitten molemmat yhtälöt, saamme:
sin2(x) = 1 – cos2(x)
+ sin2(x) = cos2(x) – cos(2x)2·sin2(x) = 1 – cos(2x) → sin2(x) = ½ ·
voit tehdä saman asian cos2 (x) saada:
cos2 (x) = 1 – sin2(x)
+ cos2(x) = cos(2x) + sin2(x)2·cos2(x) = 1 + cos(2x) → cos2(x) = ½ ·
no niin. Tässä ovat kaikki tarvitsemanne henkilöllisyydet. Kaikki muut voidaan helposti päätellä näiden ja Sinin, cos: n ja muiden trig-funktioiden välisten suhteiden perusteella.
vaatii kuitenkin hieman harjoittelua, jotta kaikki nämä saadaan nopeasti ja vaivattomasti paikan päälle. Mutta kuten näette, vaiheet ovat kaiken kaikkiaan melko yksinkertaisia, sinun tarvitsee vain tottua niihin. Kun saat nämä täydelliseksi ja tietää minne mennä, voit vetää ulos minkä tahansa trig identiteetti haluat ilman erityistä ulkoa niitä.
opettelit ulkoa vain trig-funktioiden määritelmät, ja sovelsit tätä tietoon siitä, mitä yksikköympyrä edustaa sinin ja cos: n suhteen, sekä uuteen tietoon Eulerin kaavasta.
toivottavasti tästä on apua!