Octogone

Octogone régulier

Type

Polygone régulier

Arêtes et sommets

Symbole de Schläfli

{8}, l{4}

Diagrammes de Coxeter-Dynkin

Groupe de symétrie

Dièdre (D8), ordre 2×8

Angle interne (degrés)

135°

Propriétés

Convexe, cyclique, équilatéral, isogonal, isotoxal

En géométrie, un octogone (du grec okκτάγωνον oktágōnon, « huit angles ») est un polygone à huit côtés ou 8-gon.

Un octogone régulier a le symbole de Schläfli {8} et peut également être construit comme un carré tronqué quasi-circulaire, t{4}, qui alterne deux types d’arêtes. Un octogone tronqué, t{8} est un hexadécagone, {16}. Un analogue 3D de l’octogone peut être le rhombicuboctaèdre avec les faces triangulaires comme les bords remplacés, si l’on considère l’octogone comme un carré tronqué.

Propriétés de l’octogone général

La somme de tous les angles internes d’un octogone est de 1080 °. Comme pour tous les polygones, les angles externes totalisent 360°.

Si les carrés sont construits tous intérieurement ou tous extérieurement sur les côtés d’un octogone, les points médians des segments reliant les centres des carrés opposés forment un quadrilatère à la fois équidiagonal et orthodiagonal (c’est-à-dire dont les diagonales sont de longueur égale et perpendiculaires les unes aux autres).: Prop. 9

L’octogone de point médian d’un octogone de référence a ses huit sommets aux points médians des côtés de l’octogone de référence. Si des carrés sont construits tous intérieurement ou tous extérieurement sur les côtés de l’octogone médian, alors les points médians des segments reliant les centres des carrés opposés forment eux-mêmes les sommets d’un carré.: Prop. 10

Octogone régulier

Un octogone régulier est une figure fermée avec des côtés de même longueur et des angles internes de même taille. Il présente huit lignes de symétrie réfléchissante et de symétrie de rotation d’ordre 8. Un octogone régulier est représenté par le symbole de Schläfli {8}.L’angle interne à chaque sommet d’un octogone régulier est de 135° (3 π 4 {\displaystyle\scriptstyle{\frac{3\pi }{4}}} radians). L’angle central est de 45° (π 4 {\displaystyle\scriptstyle{\frac{\pi }{4}}} radians).

Aire

L’aire d’un octogone régulier de longueur latérale a est donnée par

A = 2 cot ⁡ π 8 a 2 = 2 (1 + 2) a 2 ≃ 4,828 a 2. {\displaystyle A = 2\cot{\frac{\pi}{8}}a^{2}=2(1+{\ sqrt {2}}) a ^{2} \ simeq 4.828\, a ^{2}.}

En termes de circumradius R, l’aire est

A = 4 sin π π 4 R 2 = 2 2 R 2 ≃ 2,828 R 2. {\displaystyle A = 4\sin{\frac{\pi}{4}} R^{2} = 2{\sqrt{2}} R^{2}\simeq 2.828\, R^{2}.}

En termes d’apothème r (voir aussi figure inscrite), l’aire est

A = 8 tan π π 8 r 2 = 8 (2 −1) r 2 ≃ 3,314 r 2. {\displaystyle A = 8\tan{\frac{\pi}{8}} r^{2} = 8({\sqrt{2}} -1) r^{2}\simeq 3.314\, r^{2}.}

Ces deux derniers coefficients encadrent la valeur de pi, l’aire du cercle unitaire.

L’aire peut également être exprimée comme

A = S 2 -a 2, {\displaystyle\,\!A = S ^{2} – a^{2},}

où S est l’envergure de l’octogone, ou la deuxième diagonale la plus courte; et a est la longueur de l’un des côtés, ou bases. Ceci est facilement prouvé si l’on prend un octogone, dessine un carré autour de l’extérieur (en s’assurant que quatre des huit côtés se chevauchent avec les quatre côtés du carré), puis prend les triangles d’angle (ce sont 45-45-90 triangles) et les place avec des angles droits pointés vers l’intérieur, formant un carré. Les bords de ce carré sont chacun la longueur de la base.

Compte tenu de la longueur d’un côté a, l’envergure S est

S = a 2 + a + a 2 = (1+2) a ≈2,414 a. {\displaystyle S= {\frac{a}{\sqrt{2}}} +a + {\frac{a}{\sqrt {2}}}=(1+{\ sqrt {2}}) a\environ 2,414a.}

L’envergure est alors égale au rapport d’argent multiplié par le côté, a.

L’aire est alors comme ci−dessus:

A = ((1+2)a ) 2 – a 2 = 2 (1 + 2) a 2 ≈ 4,828 a 2. {\displaystyle A =((1+ {\sqrt{2}}) a) ^{2} -a^{2}=2(1+{\ sqrt {2}}) a ^{2} \ environ 4.828a^{2}.}

Exprimée en termes d’envergure, l’aire est

A = 2 (2 −1) S 2 ≈0,828 S 2. {\displaystyle A = 2({\sqrt{2}} -1) S^{2} \ environ 0,828S^{2}.}

Une autre formule simple pour la zone est

A = 2 a S. {\displaystyle\A=2aS.}

Plus souvent, la portée S est connue et la longueur des côtés, a, doit être déterminée, comme lors de la coupe d’un morceau de matériau carré en un octogone régulier. D’après ce qui précède,

a ≈ S/2,414. {\displaystyle a\approx S/2.414.}

Les deux longueurs d’extrémité e de chaque côté (les longueurs de jambe des triangles (verts sur l’image) tronquées du carré), ainsi que e=a/2, {\displaystyle e =a/{\sqrt{2}}, } peuvent être calculées comme

e =(S−a)/2. {\displaystyle\,\!e = (D-a) / 2.}

Circumradius et inradius

Le circumradius de l’octogone régulier en termes de longueur de côté a est

R =( 4 + 2 2 2 ) a, {\displaystyle R = \left({\frac{\sqrt{4+2{\sqrt {2}}}}{2}}\ à droite) a, }

et l’inradius est

r =(1 + 2 2)a. {\displaystyle r= \left({\frac{1+{\sqrt {2}}}{2}}\ à droite) a. }

(c’est-à-dire la moitié du rapport d’argent fois le côté, a, ou la moitié de la portée, S)

Diagonales

L’octogone régulier, en termes de longueur de côté a, a trois types de diagonales différents:

• Diagonale courte;
• Diagonale moyenne (également appelée envergure ou hauteur), qui est deux fois la longueur de l’inradius;
• Diagonale longue, qui est deux fois la longueur du circumradius.

La formule de chacun d’eux découle des principes de base de la géométrie. Voici les formules pour leur longueur:

• Diagonale courte: a 2+2 {\displaystyle a {\sqrt{2+{\sqrt {2}}}}} ;
• Diagonale moyenne: (1+2) a {\displaystyle(1+{\sqrt{2}}) a} ; (rapport d’argent fois a)
• Diagonale longue: a 4 +2 2 {\displaystyle a {\sqrt{4+2 {\sqrt {2}}}}} .

Construction et propriétés élémentaires

Un octogone régulier à un cercle donné peut être construit comme suit:

1. Tracez un cercle et un diamètre AOE, où O est le centre et A, E sont des points sur le cercle circoncire.
2. Dessinez un autre diamètre GOC, perpendiculaire à AOE.
3. (Notez au passage que A, C, E, G sont des sommets d’un carré).
4. Dessinez les bissectrices des angles droits GOA et EOG, en faisant deux diamètres supplémentaires HOD et FOB.
5. A, B, C, D, E, F, G, H sont les sommets de l’octogone.

Un octogone régulier peut être construit à l’aide d’une bordure droite et d’une boussole, comme 8 = 23, une puissance de deux:

L’octogone régulier peut être construit avec des barres meccano. Douze barres de taille 4, trois barres de taille 5 et deux barres de taille 6 sont nécessaires.

Chaque côté d’un octogone régulier sous-tend un demi-angle droit au centre du cercle qui relie ses sommets. Son aire peut ainsi être calculée comme la somme de 8 triangles isocèles, conduisant au résultat:

Area = 2 a 2(2+1) {\displaystyle {\text{Area}} = 2a^{2}({\sqrt {2}}+1)}

pour un octogone de côté a.

Coordonnées standard

Les coordonnées des sommets d’un octogone régulier centré à l’origine et de longueur de côté 2 sont:

• (±1, ±(1+√2))
• (±(1+√2), ±1).

Dissection

8- projection de cube	24 dissection de losanges
	Régulier	Isotoxal

Coxeter affirme que chaque zonogon (un 2m-gon dont les côtés opposés sont parallèles et de longueur égale) peut être disséqué en m(m-1)/ 2 parallelograms.In cela est particulièrement vrai pour les polygones réguliers avec plusieurs côtés uniformément, auquel cas les parallélogrammes sont tous des losanges. Pour l’octogone régulier, m = 4, et il peut être divisé en 6 losanges, avec un exemple illustré ci-dessous. Cette décomposition peut être vue comme 6 des 24 faces dans un plan de projection du polygone de Petrie du tesseract. La liste (séquence A006245 dans l’OEIS) définit le nombre de solutions comme 8, par les 8 orientations de cette dissection. Ces carrés et losanges sont utilisés dans les carrelages Ammann–Beenker.

Octogone régulier disséqué

Tesseract

4 losanges et 2 carrés

Octogone incliné

Un octogone oblique est un polygone oblique avec 8 sommets et arêtes mais n’existant pas sur le même plan. L’intérieur d’un tel octogone n’est généralement pas défini. Un octogone en zigzag oblique a des sommets alternant entre deux plans parallèles.

Un octogone oblique régulier est vertex-transitif avec des longueurs de bord égales. En 3 dimensions, il s’agira d’un octogone oblique en zigzag et peut être vu dans les sommets et les bords latéraux d’un antiprisme carré avec le même D4d, symétrie, ordre 16.

Polygones de Petrie

L’octogone de biais régulier est le polygone de Petrie pour ces polytopes réguliers et uniformes de dimension supérieure, représentés dans ces projections orthogonales de biais dans les plans de Coxeter A7, B4 et D5.

A7	D5	B4
7 – recto	5 – demicube	16 cellules	Tesseract

Symétrie de l’octogone

Symétrie

Les 11 symétries d’un octogone régulier. Les lignes de réflexion sont bleues à travers les sommets, violettes à travers les bords, et les ordres de giration sont donnés au centre. Les sommets sont colorés par leur position de symétrie.

L’octogone régulier a une symétrie Dih8, ordre 16. Il y a 3 sous-groupes dièdres : Dih4, Dih2 et Dih1, et 4 sous-groupes cycliques : Z8, Z4, Z2 et Z1, le dernier n’impliquant aucune symétrie.

Exemples d’octogones par symétrie

r16
d8	g8	p8
d4	g4	p4
d2	g2	p2
a1

Sur l’octogone régulier, il y a 11 symétries distinctes. John Conway qualifie la symétrie complète de r16. Les symétries diédriques sont divisées selon qu’elles passent par des sommets (d pour la diagonale) ou des arêtes (p pour les perpendiculaires) Les symétries cycliques dans la colonne centrale sont étiquetées comme g pour leurs ordres de giration centrale. La symétrie complète de la forme régulière est r16 et aucune symétrie n’est étiquetée a1.

Les octogones à haute symétrie les plus courants sont p8, un octogone isogonal construit par quatre miroirs pouvant alterner bords longs et courts, et d8, un octogone isotoxal construit avec des longueurs de bords égales, mais des sommets alternant deux angles internes différents. Ces deux formes sont duales l’une de l’autre et ont la moitié de l’ordre de symétrie de l’octogone régulier.

Chaque symétrie de sous-groupe permet un ou plusieurs degrés de liberté pour les formes irrégulières. Seul le sous-groupe g8 n’a pas de degrés de liberté mais peut être considéré comme des bords dirigés.

Utilisations des octogones

La forme octogonale est utilisée comme élément de conception en architecture. Le dôme du Rocher a un plan octogonal caractéristique. La Tour des Vents à Athènes est un autre exemple de structure octogonale. Le plan octogonal a également été utilisé dans l’architecture d’églises telles que la cathédrale Saint-Georges, Addis-Abeba, la Basilique San Vitale (à Ravenne, Italie), Castel del Monte (Pouilles, Italie), le Baptistère de Florence, l’église Zum Friedefürsten (Allemagne) et un certain nombre d’églises octogonales en Norvège. L’espace central de la cathédrale d’Aix-la-Chapelle, la Chapelle Palatine carolingienne, a un plan octogonal régulier. Les utilisations des octogones dans les églises incluent également des éléments de conception moindres, tels que l’abside octogonale de la cathédrale de Nidaros.

Des architectes tels que John Andrews ont utilisé des plans de plancher octogonaux dans des bâtiments pour séparer fonctionnellement les espaces de bureaux des services de construction, notamment le siège d’Intelsat à Washington D.C., les bureaux de Callam à Canberra et les bureaux Octogonaux à Parramatta, en Australie.

Autres utilisations

• 

  Les parapluies ont souvent un contour octogonal.

• 

  Le célèbre tapis de Boukhara intègre un motif octogonal « pied d’éléphant ».

• 

  La disposition des rues & du quartier de l’Eixample à Barcelone est basée sur des octogones non réguliers

• 

  Janggi utilise des pièces octogonales.

• 

  Les machines de loterie japonaises ont souvent une forme octogonale.

• 

  Panneau stop utilisé dans les pays anglophones, ainsi que dans la plupart des pays européens

• 

  Une icône d’un panneau d’arrêt avec une main au milieu.

• 

  Les trigrammes du bagua taoïste sont souvent disposés de manière octogonale

• 

  Célèbre coupe octogonale en or de l’épave de Belitung

• 

  Les cours au Shimer College se déroulent traditionnellement autour de tables octogonales

• 

  Le Labyrinthe de la cathédrale de Reims de forme quasi octogonale.

• 

  Le mouvement du ou des bâtons analogiques du contrôleur Nintendo 64, du contrôleur GameCube, du Nunchuk Wii et du contrôleur Classique est limité par une zone octogonale tournée, permettant au bâton de se déplacer dans seulement huit directions différentes.

Chiffres dérivés

• 

  Le carrelage carré tronqué a 2 octogones autour de chaque sommet.
  

• 

  Un prisme octogonal contient deux faces octogonales.
  

• 

  Un antiprisme octogonal contient deux faces octogonales.
  

• 

  Le cuboctaèdre tronqué contient 6 faces octogonales.
  

Polytopes connexes

L’octogone, en tant que carré tronqué, est le premier dans une séquence d’hypercubes tronqués:

Hypercubes tronqués

Image								…
Nom	Octogone	Cube tronqué	Tesseract tronqué	5-cube tronqué	6-cube tronqué	7-cube tronqué	8-cube tronqué
Diagramme de Coxeter
Figure de sommet	() v( )	()v{ }	()v{3}	()v{3,3}	( ) v{3,3,3}	( ) v{3,3,3,3}	( ) v{3,3,3,3,3}

En tant que carré élargi, il est également le premier d’une séquence d’hypercubes élargis:

Hypercubes étendus

							…
Octogone	Rhombicuboctaèdre	Tesseract runiné	5-cube stérique	6-cube pentellé	7-cube hexicé	8-cube heptellé

Voir aussi

• Piscine pare-chocs
• Maison octogonale
• Numéro octogonal
• Octagramme
• Octaèdre, forme 3D à huit faces.
• Oktogon, une intersection majeure de Budapest, Hongrie
• Rub el Hizb (également connu sous le nom d’étoile Al Quds et d’étoile Octa)
• Octogone lissé

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• Calculateur d’octogone
• Définition et propriétés d’un octogone Avec animation interactive