először is, ez az összes alapvető dolog, amit tudnod kell a trigonometrikus függvényekről:
-
mit szinusz és koszinusz egy adott szög képviseli az egységkörben.
-
a fenti geometriai megértés azonnal megadja az alapvető azonosságot: sin2 ++ + cos2 ++ = 1. Ez csak a Pitagorasz-tétel, amelyet a szinuszra és a koszinuszra és az egységkörre alkalmaznak.
-
meg kell jegyeznie a többi függvény definícióit szinusz és koszinusz szempontjából: tan x = sin x / cos x, sec x = 1 / cos x stb. Ez nem hihetetlenül hasznos vagy fontos, hogy megpróbálja, hogy egy geometriai érzi ezeket tekintve az egység kör, azonban.
most, hogy ezt elmondtuk, nagyon ajánlom, hogy minderre komplex számokkal és radiánokkal kezdjenek el gondolkodni. Ez olyasmi, amit csak sokkal később fog látni a kalkulusban, de fogalmilag elég egyszerű és elég erős ahhoz, hogy most megértsék és használják.
ezen a ponton már ismeri a komplex számok alapvető szabályait, ami nem sokkal meghaladja a tényt i2 = -1. Mint ilyen:
(a + bi)·(c+di) = ac + adi + bci + bdi2 = (ac – bd) + (ad + bc)·I
ami a szorzás alapvető fóliázása.
valószínűleg emlékszel az exponenciális függvényre és a természetes logaritmusra is, amelyek egy speciális számot tartalmaznak, az e-t. ez a szám később nagyon fontossá válik a kalkulusban, így a mostani megszokás sem fog bántani.
most van ez a nagyon félelmetes képlet, az Euler-képlet néven ismert (lásd a cikket annak magyarázatához, hogy honnan származik, ezen a szinten sem túl nehéz megérteni), amely a következő hihetetlenül hasznos összefüggést adja:
eix = cos (x) + i * sin (x)
alapvetően az eix nyomon követi az egység körét a komplex síkban x radiánban megadva (radiánok, ez fontos!)
az eix használatával gyorsan levezetheti az összes trigonometrikus identitást. Például tudni akarod, mi a bűn(a+b) vagy a cos(a+b) (vagy a-b). Cserélje ki az x = (a + b)értéket Euler képletében, és használja az exponenciálok ismert szabályait:
eix =
ei (a + b) =
KHV·EBB =
·
most, Fóliázás, hogy a termék:
· =
cos (a)cos (b) + i·cos(a)sin (b) + i * sin (a·cos (b) + i2 * sin (a·sin (b)
I2 = -1 helyettesítése és a valós és képzeletbeli részek csoportosítása:
cos (a)cos (b) + i·cos(a)sin (b) + i * sin (a·cos (b) + i2 * sin (a·sin (b) =
+ i
de ne feledje, hogy mindez egyenlő:
ei (a+b) =
KHV·EBB =
cos(a + b) + i·sin (a + b)
tehát a valós és a képzeletbeli részeknek meg kell egyezniük. Ez az:
cos(a+b) = cos(a)cos(b) – sin (a)sin (b)
sin(a+b) = cos(a)sin(b) + sin (a)cos (b)
és voila, nem kellett megjegyezned semmit. Amikor a = b, megkapja a kettős szög képleteket:
cos(2a) = cos (a)cos (a) – sin(a)sin(a) = cos2(a) – sin2 (a)
sin(2A) = cos (a) sin(a) + sin (a) cos(a) = 2·sin(a) cos (a)
rendben. Szóval, mi a helyzet a sin2(x) vagy a cos2 (x)?
ne feledje, hogy:
sin2 (x) + cos2 (x) = 1
de a fenti kettős szög képletekből:
cos (2x) = cos2 (x) – sin2 (x)
ha mindkettőt átrendezzük az egyértelműség érdekében, így a sin2 vagy a cos2 mindkét kifejezésnél egyedül van ugyanazon az oldalon, és ha mindkét egyenletet hozzáadjuk, akkor megkapjuk:
sin2 (x) = 1 – cos2(x)
+ sin2(x) = cos2(x) – cos2(2x)2·sin2(x) = 1-cos2(2x) xhamstersin 2(x) = ·
meg tudod csinálni ugyanezt a cos2 (x), hogy:
kosz2 (x) = 1-szin2(x)
+ kosz2(x) = kosz2(2x) + szin2(x)2·kosz2(x) = 1 + kosz2(x) = xhamsterkosz2(x)·
és tessék. Ezek nagyjából az összes alapazonosság, amire szüksége lesz. Az összes többi könnyen levezethető ezekből, valamint a sin, cos és a többi trig funkció közötti kapcsolatokból.
azonban egy kis gyakorlást igényel, hogy ezeket gyorsan és könnyedén levezethessük a helyszínen. De amint láthatja, a lépések általában nagyon egyszerűek, csak meg kell szokni őket. Miután ezeket tökéletesítette, és tudja, hová menjen, kihúzhatja a kívánt trig identitást anélkül, hogy külön megjegyezné őket.
csak a trig függvények definícióit jegyezted meg, és ezt alkalmaztad annak ismeretében, hogy mit jelent az egységkör a sin és a cos szempontjából, valamint az Euler-képlettel kapcsolatos új ismeretekre.
remélem, ez segít!