Ottagono

Ottagono regolare

Tipo

poligono Regolare

Bordi e vertici

simbolo di Schläfli

{8}, t{4}

Coxeter–diagrammi di Dynkin

gruppo di Simmetria

Diedro (D8), ordine 2×8

angolo Interno (gradi)

135°

Proprietà

Convesso, ciclico, equilatero, isogonal, isotoxal

In geometria, un ottagono (dal greco ὀκτάγωνον oktágōnon, “otto angoli”) è un otto facce del poligono o 8-gon.

Un ottagono regolare ha il simbolo Schläfli {8} e può anche essere costruito come un quadrato troncato quasiregular, t{4}, che alterna due tipi di bordi. Un ottagono troncato, t{8} è un esadecagono, {16}. Un analogo 3D dell’ottagono può essere il rombicuboctaedro con le facce triangolari su di esso come i bordi sostituiti, se si considera l’ottagono come un quadrato troncato.

Proprietà dell’ottagono generale

La somma di tutti gli angoli interni di qualsiasi ottagono è 1080°. Come per tutti i poligoni, gli angoli esterni ammontano a 360°.

Se i quadrati sono costruiti tutti internamente o tutti esternamente sui lati di un ottagono, allora i punti medi dei segmenti che collegano i centri dei quadrati opposti formano un quadrilatero che è sia equidiagonale che ortodiagonale (cioè, le cui diagonali sono uguali in lunghezza e ad angolo retto l’una con l’altra).: Puntello. 9

L’ottagono del punto medio di un ottagono di riferimento ha i suoi otto vertici ai punti medi dei lati dell’ottagono di riferimento. Se i quadrati sono costruiti tutti internamente o tutti esternamente sui lati dell’ottagono del punto medio, i punti medi dei segmenti che collegano i centri dei quadrati opposti formano i vertici di un quadrato.: Puntello. 10

Ottagono regolare

Un ottagono regolare è una figura chiusa con lati della stessa lunghezza e angoli interni della stessa dimensione. Ha otto linee di simmetria riflettente e simmetria rotazionale di ordine 8. Un ottagono regolare è rappresentato dal simbolo Schläfli {8}.L’angolo interno ad ogni vertice di un ottagono regolare è 135° (3 π 4 {\displaystyle \ scriptstyle {\frac {3 \ pi }{4}}} radianti). L’angolo centrale è 45° (π 4 {\displaystyle \ scriptstyle {\frac {\pi }{4}}} radianti).

Area

L’area di un ottagono regolare di lunghezza laterale a è data da

A = 2 cot π π 8 a 2 = 2 ( 1 + 2 ) a 2 4 4.828 a 2 . {\displaystyle A=2 \ cot {\frac {\pi }{8}} a^{2}=2(1+{\sqrt {2}}) a^{2}\simeq 4.828\, a^{2}.}

In termini di circumradius R, l’area è

A = 4 sin π π 4 R 2 = 2 2 R 2 2 2.828 R 2 . Il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti per migliorare la tua esperienza di navigazione.}

In termini di apotema r (vedi anche figura inscritta), l’area è

A = 8 tan π π 8 r 2 = 8 ( 2 − 1 ) r 2 3 3.314 r 2 . Il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti per migliorare la tua esperienza di navigazione.}

Questi ultimi due coefficienti racchiudono il valore di pi, l’area del cerchio unitario.

L’area può anche essere espressa come

A = S 2 − a 2 , {\displaystyle \,\!A=S^{2} – a^{2},}

dove S è la campata dell’ottagono, o la seconda diagonale più corta; e a è la lunghezza di uno dei lati, o basi. Questo è facilmente dimostrato se si prende un ottagono, si disegna un quadrato attorno all’esterno (assicurandosi che quattro degli otto lati si sovrappongano ai quattro lati del quadrato) e poi si prendono i triangoli angolari (questi sono triangoli 45-45-90) e li si posiziona con angoli retti rivolti verso l’interno, formando un quadrato. I bordi di questo quadrato sono ciascuno della lunghezza della base.

Data la lunghezza di un lato a, lo span S è

S = a 2 + a + a 2 = (1 + 2) a ≈ 2.414 a . Per maggiori informazioni, consulta la nostra informativa sulla privacy.{2}}}=(1+{\ sqrt {2}}) a \ circa 2.414 a.}

Lo span, quindi, è uguale al rapporto argento per il lato, a.

L’area è quindi come sopra:

A = ( ( 1 + 2 ) a ) 2 − a 2 = 2 ( 1 + 2 ) a 2 ≈ 4.828 a 2 . {\displaystyle A=((1 + {\sqrt {2}}) a)^{2} – a^{2}=2(1+{\sqrt {2}}) a^{2} \ circa 4.828 a^{2}.}

Espresso in termini di span, l’area è

A = 2 (2 – 1) S 2 ≈ 0,828 S 2 . {\displaystyle A=2({\sqrt {2}}-1)S^{2}\circa 0,828 S^{2}.}

Un’altra semplice formula per l’area è

A = 2 a S . {\displaystyle \ A=2COME.}

Più spesso è nota la campata S e la lunghezza dei lati, a, deve essere determinata, come quando si taglia un pezzo quadrato di materiale in un ottagono regolare. Da quanto sopra,

a ≈ S / 2.414. {\displaystyle a \ circa S / 2.414.}

Le due lunghezze finali e su ciascun lato (le lunghezze delle gambe dei triangoli (verdi nell’immagine) troncate dal quadrato), oltre ad essere e = a / 2 , {\displaystyle e=a/{\sqrt {2}},} possono essere calcolate come

e = ( S − a ) / 2. {\stile di visualizzazione \,\!e=(S-d) / 2.}

Circumradius e inradius

Il circumradius dell’ottagono regolare in termini di lunghezza del lato a è

R = ( 4 + 2 2 2 ) una , {\displaystyle R=\left({\frac {\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}{2}}\destra),}

e il inradius è

r = ( 1 + 2 2). Per ulteriori informazioni, consultare il sito:{2}}}{2}}\ a destra) a.}

(che è la metà argento rapporto di volte il lato a, o metà della campata, S)

Diagonali

L’ottagono regolare, in termini di lunghezza del lato a, ha tre diversi tipi di diagonali:

• Breve diagonale;
• Medio diagonale (chiamato anche arco o altezza), che è due volte la lunghezza del inradius;
• Lunga diagonale, che è due volte la lunghezza del circumradius.

La formula per ciascuno di essi deriva dai principi di base della geometria. Ecco le formule per la loro lunghezza:

• Breve diagonale: 2 + 2 {\displaystyle un{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}} ;
• Medio diagonale: ( 1 + 2) {\displaystyle (1+{\sqrt {2}})}} per ; (argento rapporto di volte)
• Lunga diagonale: 4 + 2 2 {\displaystyle un{\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}} .

Costruzione e proprietà elementari

Un ottagono regolare ad una data circonferenza circoscritta può essere costruito come segue:

1. Disegnare un cerchio del diametro di AOE, dove O è il centro e, E sono punti della circonferenza circoscritta.
2. Disegna un altro diametro GOC, perpendicolare a AOE.
3. (Nota di passaggio che A,C,E,G sono vertici di un quadrato).
4. Disegnare le bisettrici degli angoli retti GOA e EOG, facendo altri due diametri HOD e FOB.
5. A,B,C,D,E,F,G,H sono i vertici dell’ottagono.

Un ottagono regolare può essere costruito usando un dritto e una bussola, come 8 = 23, una potenza di due:

L’ottagono regolare può essere costruito con barre di meccano. Sono necessarie dodici barre di misura 4, tre barre di misura 5 e due barre di misura 6.

Ogni lato di un ottagono regolare sottende mezzo angolo retto al centro del cerchio che collega i suoi vertici. La sua area può quindi essere calcolata come la somma di 8 triangoli isosceli, portando al risultato:

Area = 2 2 ( 2 + 1 ) {\displaystyle {\text{Area}}=2a^{2}({\sqrt {2}}+1)}

per un ottagono di lato.

Standard coordinate

Le coordinate di tutti i vertici di un ottagono regolare centrata sull’origine e con il lato di lunghezza 2 sono:

• (±1, ±(1+√2))
• (±(1+√2), ±1).

Dissezione

8-cubo di proiezione	24 rombo dissezione
	Regular	Isotossico

Coxeter afferma che ogni zonogon (un 2m-gon i cui lati opposti sono paralleli e di uguale lunghezza) può essere sezionato in m (m-1) / 2 parallelograms.In particolare questo è vero per i poligoni regolari con molti lati uniformemente, nel qual caso i parallelogrammi sono tutti rombi. Per l’ottagono regolare, m=4, e può essere diviso in 6 rombi, con un esempio mostrato di seguito. Questa decomposizione può essere vista come 6 delle 24 facce in un piano di proiezione del poligono di Petrie del tesseract. L’elenco (sequenza A006245 nell’OEIS) definisce il numero di soluzioni come 8, dagli 8 orientamenti di questa dissezione. Questi quadrati e rombi sono utilizzati nelle piastrelle Ammann–Beenker.

Ottagono regolare sezionato

Tesseract

4 rombi e 2 quadrati

Inclinare ottagono

Un ottagono obliquo è un poligono obliquo con 8 vertici e bordi ma non esistente sullo stesso piano. L’interno di un tale ottagono non è generalmente definito. Un ottagono a zig-zag obliquo ha vertici alternati tra due piani paralleli.

Un ottagono obliquo regolare è transitivo vertice con lunghezze di bordo uguali. In 3 dimensioni sarà un ottagono obliquo a zig-zag e può essere visto nei vertici e nei bordi laterali di un antiprisma quadrato con lo stesso D4d, simmetria, ordine 16.

Poligoni di Petrie

L’ottagono obliquo regolare è il poligono di Petrie per questi politopi regolari e uniformi di dimensioni superiori, mostrato in queste proiezioni ortogonali oblique dei piani di Coxeter A7, B4 e D5.

A7	D5	B4
7-simplex	5-demicube	16 celle	Tesseract

Simmetria dell’ottagono

Simmetria

Le 11 simmetrie di un ottagono regolare. Le linee di riflessione sono blu attraverso i vertici, viola attraverso i bordi e gli ordini di rotazione sono dati al centro. I vertici sono colorati dalla loro posizione di simmetria.

L’ottagono regolare ha simmetria Dih8, ordine 16. Ci sono 3 sottogruppi diedri: Dih4, Dih2 e Dih1 e 4 sottogruppi ciclici: Z8, Z4, Z2 e Z1, l’ultimo che non implica simmetria.

Esempio di ottagoni per simmetria

r16
d8	g8	p8
d4	g4	p4
d2	g2	p2
a1

Sull’ottagono regolare, ci sono 11 simmetrie distinte. John Conway etichetta la simmetria completa come r16. Le simmetrie diedre sono divise a seconda che passino attraverso i vertici (d per la diagonale) o i bordi (p per le perpendicolari) Le simmetrie cicliche nella colonna centrale sono etichettate come g per i loro ordini di rotazione centrali. La simmetria completa della forma regolare è r16 e nessuna simmetria è etichettata a1.

Gli ottagoni ad alta simmetria più comuni sono p8, un ottagono isogonale costruito da quattro specchi che possono alternare bordi lunghi e corti, e d8, un ottagono isotossico costruito con lunghezze di bordo uguali, ma vertici che alternano due diversi angoli interni. Queste due forme sono duali l’una dell’altra e hanno metà dell’ordine di simmetria dell’ottagono regolare.

Ogni simmetria sottogruppo consente uno o più gradi di libertà per le forme irregolari. Solo il sottogruppo g8 non ha gradi di libertà ma può essere visto come bordi diretti.

Usi di ottagoni

La forma ottagonale è utilizzata come elemento di design in architettura. La Cupola della Roccia ha una caratteristica pianta ottagonale. La Torre dei Venti ad Atene è un altro esempio di una struttura ottagonale. La pianta ottagonale è stata anche nell’architettura di chiese come la Cattedrale di San Giorgio, Addis Abeba, la Basilica di San Vitale (a Ravenna, Italia), Castel del Monte (Puglia, Italia), il Battistero di Firenze, la Chiesa di Zum Friedefürsten (Germania) e un certo numero di chiese ottagonali in Norvegia. Lo spazio centrale della Cattedrale di Aquisgrana, la Cappella Palatina carolingia, ha una pianta ottagonale regolare. Gli usi degli ottagoni nelle chiese includono anche elementi di design minori, come l’abside ottagonale della Cattedrale di Nidaros.

Architetti come John Andrews hanno utilizzato layout di pavimento ottagonale negli edifici per separare funzionalmente le aree degli uffici dai servizi di costruzione, in particolare la sede Intelsat a Washington D. C., gli uffici Callam a Canberra e gli uffici Octagon a Parramatta, in Australia.

Altri usi

• 

  Gli ombrelli hanno spesso un contorno ottagonale.

• 

  Il famoso disegno del tappeto Bukhara incorpora un motivo ottagonale “piede di elefante”.

• 

  La strada & blocco layout del quartiere Eixample di Barcellona si basa sulla non-ottagoni regolari

• 

  Janggi utilizza pezzi ottagonale.

• 

  Le macchine della lotteria giapponesi hanno spesso forma ottagonale.

• 

  Stop usato nei paesi di lingua inglese, così come nella maggior parte dei paesi Europei

• 

  Un’icona di un segnale di stop con una mano in mezzo.

• 

  I trigrammi del Taoista bagua sono spesso organizzati in forma ottagonale

• 

  Famoso ottagonale gold cup dal naufragio Belitung

• 

  Classi di Shimer College sono tradizionalmente si svolge intorno ottagonale tavoli

• 

  Il Labirinto della Cattedrale di Reims con un quasi-forma ottagonale.

• 

  Il movimento delle levette analogiche del controller Nintendo 64, del controller GameCube, del Wii Nunchuk e del controller Classic è limitato da un’area ottagonale ruotata, che consente al bastone di muoversi in sole otto direzioni diverse.

Figure derivate

• 

  La piastrellatura quadrata troncata ha 2 ottagoni attorno ad ogni vertice.
  

• 

  Un prisma ottagonale contiene due facce ottagonali.
  

• 

  Un antiprisma ottagonale contiene due facce ottagonali.
  

• 

  Il cubottaedro troncato contiene 6 facce ottagonali.
  

Politopi correlati

L’ottagono, come un quadrato troncato, è il primo in una sequenza di ipercubi troncati:

Ipercubi troncati

Immagine								…
Nome	Ottagono	Troncato cubo	Troncato tesseract	Troncato 5-cubo	Troncato 6-cubo	Troncato 7-cubo	Troncato 8-cubo
Coxeter diagramma
Vertice figura	() v( )	() v{ }	() v{3}	() v{3,3}	( )v{3,3,3}	( )v{3,3,3,3}	( )v{3,3,3,3,3}

Come un quadrato espanso, è anche il primo in una sequenza di ipercubi espansi:

Ipercubi espansi

							…
Ottagono	Rhombicuboctahedron	Runcinated tesseract	Stericated 5-cubo	Pentellated 6-cubo	Hexicated 7-cubo	Heptellated 8-cubo

Vedi anche

• Bumper pool
• Octagon house
• Numero ottagonale
• Octagram
• Ottaedro, forma 3D con otto facce.
• Oktogon, un importante incrocio a Budapest, in Ungheria
• Rub el Hizb (conosciuto anche come Al-Quds Stella e come Octa Stelle)
• Levigato ottagono

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• Calcolatrice ottagono
• Definizione e proprietà di un ottagono con animazione interattiva