サッカーボール物理学

• ボールドラッグ

サッカーボールの物理学を研究する次の記事は、Physics World magazine,June1998pp25–27に最初に掲載されました。

サッカーボールの物理学

リバプール-フットボール-クラブの元マネージャー、ビル-シャンクリー氏はかつて、”サッカーは生死についてではない。 それはそれよりも重要です。”今月のフランスでのワールドカップでは、何百万人ものサッカーファンが数週間、短い週間のために同じ気持ちを得るでしょう。 その後、イベントは終わり、残っているのは、テレビでの数回の繰り返しと、何が起こったのかについての無限の憶測になります。

そのファンが愛し、他の人が嫌いなのはサッカーのこの側面です。 そのペナルティが入っていた場合はどうなりますか？ プレイヤーが送られていなかった場合はどうなりますか？ そのフリーキックが壁の周りに曲がっていないとゴールのために行っていた場合はどうなりますか？

多くのファンは、昨年の夏にフランスで行われた大会でブラジルのロベルト-カルロスが取ったフリーキックを覚えています。 ボールは相手のゴールから約30m、わずかに右に置かれた。 カルロスは、それが最初に少なくともメートルで守備の壁をクリアし、ゴールからメートル立っていたボールボーイを作った右にこれまでのところボールを打つ、彼の頭をアヒル。 その後、ほとんど魔法のように、ボールは左に湾曲し、ゴールの右上隅に入りました-選手、ゴールキーパー、メディアの驚きに似ています。

どうやら、カルロスは練習場でこのキックをいつも練習していたようです。 彼は直感的に特定の速度で、特定のスピンでそれを打つことによってボールをカーブする方法を知っていた。 彼はおそらく、しかし、そのすべての背後にある物理学を知っていませんでした。

スポーツボールの空気力学

回転する物体の横方向のたわみの最初の説明は、1852年にドイツの物理学者Gustav Magnusによって行われた作業にLord Rayleighによって入金され マグヌスは実際に回転する砲弾と弾丸が片側に偏向する理由を決定しようとしていましたが、彼の説明はボールにも同様に適用されます。 確かに、サッカーのカーブボールの基本的なメカニズムは、野球、ゴルフ、クリケット、テニスなどの他のスポーツとほぼ同じです。

それを横切る空気の流れに垂直な軸を中心に回転しているボールを考えてみましょう（左を参照）。 空気は、ボールの周囲が気流と同じ方向に移動しているボールの中心に対してより速く移動します。 これはBernouilliの主義に従って圧力を、減らす。

反対の効果はボールの反対側で起こり、ボールの中心に対して空気の移動が遅くなります。 したがって、力の不均衡があり、ボールが偏向する–または、サー J Jトムソンが1910年にそれを置くように、”ボールはその鼻に従う”。 飛行中のボールのこの横方向のたわみは、一般的に「マグナス効果」として知られています。

空気中を飛んでいる回転するボールにかかる力は、一般的に揚力と抗力の二つのタイプに分けられます。 上昇力はMagnusの効果に責任がある上向きまたはsidewards力である。 ドラッグ力は、ボールの経路とは反対方向に作用する。

私たちはよく取らフリーキックで仕事で力を計算してみましょう。 ボールの速度が25-30ms-1（約70mph）で、スピンが毎秒約8-10回転であると仮定すると、揚力は約3.5Nであることが判明します。

プロサッカーは410-450gの質量を持たなければならないと規定されており、これは約8ms-2加速することを意味します。 そして、ボールは30mの軌道上で1秒間飛行しているので、揚力はボールを通常の直線コースから4mも逸脱させる可能性があります。 任意のゴールキーパーをトラブルに十分！

ボールに対する抗力FDは、ボールの密度rとその断面積Aが変わらないと仮定すると、速度vの二乗とともに増加します。FD=Cdrav2/2。 しかし、”抗力係数”CDもボールの速度に依存するように見えます。

例えば、Rv D/μに等しい非次元パラメータであるレイノルズ数に対して抗力係数をプロットすると、dはボールの直径、μは空気の動粘度であり、ボールの表面の気流が滑らかで層流から乱流に変化すると抗力係数が突然低下することがわかります（右参照）。

気流が層流であり、抗力係数が高い場合、ボールの表面の空気の境界層は、ボールの上を流れるにつれて比較的早く”分離”し、後流中に渦を生成する。 しかし、気流が乱流である場合、境界層はボールに長く付着する。 これは遅い分離および小さい抗力を作り出す。

したがって、抗力係数が低下するレイノルズ数は、ボールの表面roughnessさに依存します。 例えば、大きくディンプルされているゴルフボールは、非常に高い表面粗さを有し、抗力係数は比較的低いレイノルズ数（〜2×104）で低下する。 しかし、サッカーはゴルフボールよりも滑らかであり、臨界遷移ははるかに高いレイノルズ数（-4×105）で達成される。

ドラッグ対スピード

このすべての結果は、動きの遅いサッカーが比較的高い遅延力を経験するということです。 しかし、その上の気流が乱流になるようにボールを十分に速く打つことができれば、ボールは小さな遅延力を経験します（右参照）。 速い動きのサッカーは、したがって、セーブをすることを望んでゴールキーパーのための二重のトラブルです–ボールが高速で移動しているだけでなく、それはまた、予想されるほど遅くはありません。 おそらく最高のゴールキーパーは、直感的に彼らが実現するよりも多くのサッカーボールの物理学を理解しています。

1976年、ロンドンのインペリアル-カレッジのPeter Bearmanらは、ゴルフボールに関する古典的な一連の実験を行った。 彼らは、ボールのスピンを増加させると、より高い揚力係数が生成され、したがってより大きなマグナス力が生成されることを発見した。 しかし，与えられたスピンでの速度を増加させると揚力係数は減少した。

これがサッカーにとって意味することは、多くのスピンを持つ動きの遅いボールは、同じスピンを持つ動きの速いボールよりも大きな横方向の力を有す ボールがその軌道の終わりに減速するにつれて、曲線はより顕著になります。

Roberto Carlos revisited

これはロベルト-カルロスが取ったフリーキックをどのように説明していますか？ 私たちは完全に確信することはできませんが、以下はおそらく何が起こったのかについての公正な説明です。

カルロスは左足の外側でボールを蹴って、彼がそれを見下ろしたときに反時計回りに回転させました。 条件は乾燥していたので、彼がボールを与えたスピンの量は高く、おそらく毎秒10回転を超えていました。 彼の足の外側でそれを蹴ることは、おそらく30ms-1（70mph）以上で、彼はハードボールを打つことができました。

ボールの表面上の空気の流れは乱流であり、ボールに比較的低い抗力を与えた。 そのパスにいくつかの方法–おそらく10メートルマークの周り（または守備の壁の位置について）–ボールの速度は、それが層流レジームに入るように落ちました。

これにより、ボールへのドラッグが大幅に増加し、さらに減速しました。 これにより、ボールをゴールに向かって曲げていた横マグナスの力がさらに有効になりました。 スピン量があまり減衰していないと仮定すると，抗力係数は増加した。

これにより、さらに大きな横方向の力が導入され、ボールがさらに曲がる原因となった。 最後に、ボールが減速するにつれて、ベンドはネットの後ろに当たるまで（おそらく揚力係数の増加のために）より誇張されたものになりました–群衆の中の物理学者の喜びに大きくなりました。

サッカーの動きに関する現在の研究

サッカーの研究には、単に飛行中のボールの動きを研究するだけではありません。 研究者はまた、サッカー選手が実際にボールを蹴る方法を見つけることに興味があります。 例えば、米国のマサチューセッツ大学のStanley Plagenhofは、蹴ることの運動学を研究しています–言い換えれば、関与する力を無視しています。 Elizabeth Robertsやウィスコンシン大学の同僚などの他の研究者は、関与する力を考慮に入れて、蹴ることの動的分析を行っています。

これらの実験的アプローチはいくつかの優れた結果をもたらしたが、多くの課題はまだ残っている。 最も重要な問題の一つは、彼らの動きがとても予測不可能であるため、部分的に、人間の物理的な動きを測定することの難しさです。 しかし、最近のコンピュータによる動きの解析の進歩は、スポーツ科学において多くの注目を集めており、新しい科学的方法の助けを借りて、人間の動きを合理的に正確に測定することが可能になっている。

例えば、著者の二人（TAとTA）と日本の山形大学の研究チームは、プレイヤーがボールを蹴る方法をシミュレートするために、より従来の力学的方法と組み合わせた計算科学的アプローチを使用しています。 これらのシミュレーションは、初心者や幼児から専門家まで、さまざまなタイプの”仮想”サッカー選手を作成し、コンピュータ上の仮想空間と時間で遊ぶことを可能にしました。

山形プロジェクトを後援しているアシックス株式会社などのスポーツ用品メーカーもこの作業に興味を持っている。 彼らは、既存の製品よりも速く、より経済的に作ることができるより安全で高性能なスポーツ用品を設計するために結果を使用したいと考えています。

ボールをカーブさせる方法

毎秒4500フレームの高速ビデオを使用して選手の動きを追跡し、足がボールに与える影響を有限要素解析で研究しました。 最初の実験は、ほとんどのサッカー選手が知っていることを証明しました: 足がボールの重心に沿ってボールに当たるように、あなたの足の甲でまっすぐにボールを打つ場合は、ボールが直線でオフに撮影します。 しかし、あなたの足の前で、あなたの足と足の間の角度を90°（左参照）でボールを蹴ると、それは飛行中にカーブします。 この場合、影響は中心から外れています。 これにより、加えられた力がトルクとして作用し、ボールにスピンを与えます。

実験結果はまた、ボールが拾ったスピンが足とボールの摩擦係数、およびボールの重心からの足のオフセット距離と密接に関連していることを示しました。 これらの事象を数値的に解析するために，Ｍａｃｎｅａｌｓｃｈｗｅｎｄｌｅｒ社のＤＹＴＲＡＮとＰＡＴＲＡＮソフトウェアで書かれた足のボールへの影響の有限要素モデルを用いた。 この研究は、ボールと足の間の摩擦係数の増加は、ボールがより多くのスピンを獲得する原因となることを示した。 また、オフセット位置が重心から遠い場合は、より多くのスピンがありました。

他に二つの興味深い効果が観察された。 まず、オフセット距離が増加した場合、足はより短い時間とより小さな領域にわたってボールに触れ、スピンとボールの速度の両方を減少させた。 あなたが最大のスピンをしたい場合は、ボールを打つための最適な場所があります：あなたはあまりにも近いか、あまりにも遠く重心からボールを打つ場合、それはすべてで任意のスピンを取得しません。

もう一つの興味深い効果は、摩擦係数がゼロであっても、重心からのオフセットで蹴るとボールはスピンを獲得するということでした。 この場合、ボールの周囲に平行な周辺力はありませんが（摩擦係数がゼロであるため）、ボールはその中心に向かって変形し、重心の周りに何らかの力が作用 したがって、雨の日にサッカーを回転させることは可能ですが、スピンは条件が乾燥している場合よりもはるかに少なくなります。

もちろん、分析にはいくつかの制限があります。 ボールの外側の空気は無視され、ボールの内側の空気は圧縮粘性流体-流れモデルに従って挙動すると仮定された。 理想的には、ボールの内側と外側の両方の空気を含め、Navier-Stokes方程式を使用して粘度をモデル化する必要があります。

また、実際の足がこれよりもはるかに複雑であることが明らかであるとき、足は均質であると仮定された。 すべての要素を考慮した完璧なモデルを作成することは不可能ですが、このモデルには最も重要な機能が含まれています。

未来を見据えて、私たち二人（TAとTA）も、異なる種類の履物がボールの蹴りに及ぼす影響を調査する予定です。 一方、アシックスは、山形の有限要素シミュレーションとバイオメカニクス、生理学、材料科学を組み合わせて、新しいタイプのサッカーブーツを設計しています。 しかし、最終的には違いを生むのはサッカー選手であり、能力がなければ技術は価値がありません。

最後の笛

ロベルト-カルロスから何を学ぶことができますか？ 乱流になるために表面上の気流のために十分に懸命に球を蹴れば抗力力は小さく残り、球は実際に飛びます。 ボールをカーブさせたい場合は、中心から離れて打つことでスピンをたくさん与えてください。 これは、濡れた日よりも乾燥した日の方が簡単ですが、条件に関係なく行うことができます。

ボールは層流領域に減速すると最もカーブしますので、この遷移が適切な場所、例えばボールが防御壁を通過した直後に起こることを確認する練習が必 条件が濡れている場合、あなたはまだスピンを得ることができますが、ボール（とあなたのブーツ）を乾燥させる方が良いでしょう。

約90年前、J J Thomsonはロンドンの王立研究所でゴルフボールの力学について講義を行った。 彼は次のように言って引用されています: “私たちは、ゲームの周りに収集した非常に膨大な文献に多くの貢献者によって与えられたボールの行動の説明を受け入れることができれば…私はあなたの前に、この夜新しいダイナミクスを持参し、その問題を発表する必要があります,ボールに構成されたときに、その行動を支配するものとは全く異なる文字の法律に従うとき、他の条件で.”

サッカーでは、少なくとも、我々は物事が上に移動していることを確認することができます。

続きを読む
https://physicsworld.com/a/the-physics-of-football/

C B大成1972ボールゲームの物理学（英語大学出版会、ロンドン)

S J Haake(ed)1996The Engineering of Sport(A A Balkema,Rotterdam)

r D Mehta1985Sports balls Ann. 流体力学の研究者である。 17 151-189

圧力とサッカーボールについての質問