八角形

“八角形”はここにリダイレクトされます。その他の用途については、八角形(曖昧さ回避)と八角形(曖昧さ回避)を参照してください。

レギュラー八角形

正八角形

タイプ

正多角形

エッジと頂点

シュラーフリ記号

{8}, t{4}

コクセター-ディンキン図

対称群

二面体(D8)位2×8

内角(度)

135°

プロパティ

凸、環状、正三角形、等角、等毒性

幾何学において、八角形（ギリシャ語のθ ω θ oktágōnon、”八角”から）は八角形または8角形である。

規則的な八角形はシュレーフリ記号{8}を持ち、準規則的な切り捨てられた正方形t{4}として構成することもでき、二つのタイプの辺を交互にする。切り捨てられた八角形、t{8}はhexadecagon、{16}である。八角形の3Dアナログは、八角形が切り捨てられた正方形であると考えると、置き換えられたエッジのように三角形の面を持つ菱形八面体にすることができます。

一般的な八角形の特性

緑色の四辺形の対角線は、長さが等しく、互いに直角である

任意の八角形のすべての内角の合計は1080°です。すべてのポリゴンと同様に、外角は合計360°です。

正方形が八角形の側面にすべての内部またはすべての外部に構築されている場合、反対の正方形の中心を結ぶセグメントの中点は、等角形と正角形（つまり、対角線の長さが等しく、互いに直角である）の四辺形を形成する。：プロップ 9

基準八角形の中点八角形は、基準八角形の辺の中点に八つの頂点を持っています。正方形が中点八角形の側面にすべて内部的にまたはすべて外部的に構築されている場合、反対の正方形の中心を結ぶセグメントの中点自体が正方形の頂点を形成する。：プロップ 10

正八角形

正八角形とは、辺の長さが同じで、内角が同じ大きさの閉じた図形です。これは、8次の反射対称性と回転対称性の8つの線を持っています。規則的な八角形はSchläfliの記号{8}によって表される。正八角形の各頂点における内角は135°(3÷4{\displaystyle\scriptstyle{\frac{3\pi}})である。}{4}}} ${\\frac{3\pi}{4}}}$ ラジアン）。中心角は45°(π4{\displaystyle\scriptstyle{\frac{\pi}}})である。}{4}}} ${\displaystyle\frac{\pi}{4}}}$ ラジアン）。

面積

辺の長さaの正八角形の面積は、

a=2cot≤8a2=2(1+2)a2≤4.828a2で与えられます。 {\displaystyle A=2\cot{\frac{\pi}{8}}a}{\displaystyle A=2\cot{\frac{\pi}{8}}a^{2}=2(1+{\sqrt{2}}）a^{2}\simeq4.828\、a^{2}。 Sqrt a=2\cot\frac{\pi}{8}a^2=2（1+\sqrt{2}）a^2\simeq4.828\、a^2。

外周rに関しては、面積は

A=4sin≤4r2=2 2R2≤2.828R2である。 {\displaystyle A=4\sin{\frac{\pi}{4}}R^{2}=2{\sqrt{2}}R^{2}\simeq2.828\,r^{2}. A A=4\sin\frac{\pi}{4}R^2=2\sqrt{2}R^2\simeq2.828\、R^2。

アポテムrに関しては（内接図も参照）、面積は

A=8tan≤8r2=8(2−1)r2≤3.314r2である。 {\displaystyle A=8\tan{\frac{\pi}{8}}r^{2}=8({\sqrt{2}}-1)r^{2}\simeq3.314\,r^{2}. A=8\tan\frac{\pi}{8}r^2=8（\sqrt{2}-1）r^2\simeq3.314\、r^2です。

これらの最後の二つの係数は、単位円の面積であるpiの値をブラケット化します。

通常の八角形の面積は、切り捨てられた正方形として計算することができます。

面積は

A=S2−a2{\displaystyle\,\!A=S^{2}-a^{2},} $\,\!A=S^{2}-a^{2},$

ここで、Sは八角形のスパン、または二番目に短い対角線であり、aは辺または底のいずれかの長さです。これは、八角形をとり、外側の周りに正方形を描き（八辺の四つが正方形の四つの辺と重なることを確認する）、角の三角形（これらは45-45-90の三角形である）を取り、直角を内側に向けて正方形を形成する場合に容易に証明される。この正方形の端は、それぞれベースの長さです。

辺aの長さを考えると、スパンSは

S=a2+a+a2=(1+2)a≤2.414aです。 {\displaystyle S={\frac{a}{\sqrt{2}}}+a+{\frac{a}{\sqrt{2}}}+A+{\frac{a}{\sqrt{2}}}+A+{\frac{a}{\sqrt{2}}}=(1+{\sqrt{2}}）a\約2.414a。 2}}+a+\frac{a}{\sqrt{2}}=（1+\sqrt{2}）a\約2.414a。

スパンは、銀比に辺aを掛けたものに等しい。

面積は上記のようになります。

A=（（1+2）a）2−a2=2（1+2）a）2-a2=2（1+2）a）2-a2=2（1+2）a）2-a2=2（1+2）a）2-a2=2（1+2）a）2-a2=2（1+2）a）2-a2=2（1+2）a）2-a2=2（1+2）a）2-a2=2（1+2）a）2-a2=2（1+2）a）2-a2=2（1+2）a）2-a2=2 1+2)a2≈4.828a2. {\displaystyle A=((1+{\sqrt{2}})a)a{2}-a^{2}=2(1+{\sqrt{2}}）a^{2}\約4.828a^{2}。 A=（（1+\sqrt{2}）a）-2-a^2=2（1+\sqrt{2}）a^2\約4.828a^2です。

スパンで表現すると、面積は

A=2(2−1)S2≤0.828S2です。 {\displaystyle A=2({\sqrt{2}}-1)S^{2}\approx0.828S^{2}. A=2(\sqrt{2}-1)S^2\approx0.828S^2です。

面積の別の簡単な式は

A=2A Sです。 {\displaystyle\A=2as.} $\A=2as.$

より多くの場合、スパンSが知られており、正方形の材料片を通常の八角形に切断する場合のように、辺の長さaが決定されます。上記から、

a≤S/2.414。 {\displaystyle a\approx S/2.414.} $a\約S/2.414.$

各辺の2つの端の長さe（三角形（画像の緑色）の脚の長さは正方形から切り捨てられている）、e=a/2{\displaystyle e=a/{\sqrt{2}},} $e=a/{\sqrt{2}},$ は

e=(s−a)/2として計算することができる。 {\displaystyle\,\!e=(S-a)/2.} $\,\!e=(S-a)/2.$

Circumradiusとinradius

正八角形の辺の長さaに関するcircumradiusは

R=(4 + 2 2 2 )a,{\displaystyle R=\left({\frac{\sqrt{4+2{\sqrt{4+2}}}{\sqrt{4+2}}}{\sqrt{4+2}}}{2}}}}{2}}\右)a,} $R=\left({\frac{\sqrt{4+2{\sqrt{4+2{\sqrt{4+2{\sqrt{4+2{\sqrt{4+2{\sqrt{4+2{\sqrt{2}}}}{2}}\右)a,$

であり、内半径は

r=(1+2 2)aである。 {\displaystyle r=\left({\frac{1+{\sqrt{2}}}{\sqrt{2}}}}}}}}}}{2}}}{2}}\右)a.}{\displaystyle r=\left({\frac{1+{\sqrt{1+}}{\sqrt{1+}}}}}}}}}}}{2}}}{2}}\右)a.

対角線

通常の八角形は、辺の長さaに関して、三つの異なるタイプの対角線を持っています:

短い対角;
中対角（スパンまたは高さとも呼ばれます）。
長い対角、これは内半径の2倍の長さです。
長い対角、これは外半径の2倍の長さです。
長い対角。

それぞれの式は幾何学の基本原則に従います。その長さの式は次のとおりです:

短対角：a2+2{\displaystyle a{\sqrt{2+{\sqrt{2}}}}} ${\a{\sqrt{2+{\sqrt{2+{\sqrt{2}}}}}}}{2}}}}}$ ;
中対角:(1+2)a{\displaystyle(1+{\sqrt{2}})a}{\displaystyle(1+{\sqrt{2}})a};(銀比×a)
長対角:a4+2 2{\displaystyle a{\sqrt{4+2{\sqrt{4}}})A};(銀比×a)
長対角:a4+2 2{\displaystyle a{\sqrt{4+2{\sqrt{4}}})A};(銀比×a)
{2}}}}} ${\a{\sqrt{4+2{\sqrt{2}}}}}$ .

紙のシートを折ることによって、通常の八角形を構築します。

与えられた外接円における規則的な八角形は、次のように構成することができる:

円と直径AOEを描き、Oは中心であり、A、Eは外接円上の点である。
AOEに垂直な別の直径GOCを描画します。
（A、C、E、Gは正方形の頂点であることに注意してください）。
直角GOAとEOGの二等分線を描き、さらに二つの直径HODとFOBを作ります。
A、B、C、D、E、F、G、Hは八角形の頂点です。

与えられた外接円の八角形

与えられた辺の長さの八角形、アニメーション
（構造は与えられた辺の長さの八角形の構造と非常によく似ています。)

通常の八角形は、直線とコンパスを使用して構築することができます,として8=23,二つの累乗:

Meccanoの八角形の構造。

規則的な八角形はmeccano棒と組み立てることができる。サイズ4の12の棒、サイズ5の3つの棒およびサイズ6の2つの棒は要求されます。

規則的な八角形の各辺は、その頂点を結ぶ円の中心で半分の直角を下回ります。したがって、その面積は8つの二等辺三角形の合計として計算することができ、結果につながります:

Area=2a2(2+1){\displaystyle{\text{Area}}=2a^{2}({\sqrt{2}}+1)} ${\テキスト{エリア}}=2a^{2}（{\sqrt{2}}+1)$

辺aの八角形の場合。

標準座標

原点を中心とし、辺の長さが2の正規八角形の頂点の座標は次のとおりです:

(±1, ±(1+√2))
(±(1+√2), ±1).

8-立方体投影	24菱形解剖

コクセターは、すべてのゾノゴン（反対側が平行で長さが等しい2m-gon）は、m(m-1)/2に解剖することができると述べているparallelograms.In 特に、これは均等に多くの辺を持つ正多角形に当てはまり、その場合、平行四辺形はすべて菱形です。正八角形の場合、m=4であり、6つの菱形に分けることができ、以下に一例を示す。この分解は、tesseractのPetrie polygon投影面内の6つの24面として見ることができます。リスト（OEISのシーケンスA006245）は、この1つの解剖の8つの方向によって、解の数を8と定義します。これらの正方形および菱形はAmmann–Beenkerのtilingsで使用される。


Tesseract	4菱形と2正方形

スキュー八角形

正方形の反プリズムのエッジとして見られる規則的なスキュー八角形,対称性D4D,,(2*4),オーダー16.

スキュー八角形は、8つの頂点とエッジを持つスキュー多角形ですが、同じ平面上には存在しません。このような八角形の内部は一般的に定義されていません。スキュージグザグ八角形は、二つの平行な平面の間で交互に頂点を持っています。

正のスキュー八角形は、エッジの長さが等しい頂点推移的です。 3次元では、それはジグザグのスキュー八角形になり、同じD4D、対称性、次数16の正方形の反プリズムの頂点と側縁に見ることができます。

Petrie polygons

正のスキュー八角形は、A7、B4、およびD5コクセター平面のこれらのスキュー直交投影に示されている、これらの高次元の正および均一ポリトープのペトリーポリゴンです。

A7	D5	B4
7-シンプレックス	5-デミキューブ	16セル	テッセラクト

八角形の対称性

対称性
	通常の八角形の11の対称性。反射の線は、頂点を通る青、エッジを通る紫であり、中央に旋回次数が与えられます。頂点は、その対称位置によって色付けされます。

正八角形はDih8対称性を持ち、次数は16である。 3つの二面体部分群（Dih4、Dih2、Dih1）と4つの巡回部分群（Z8、Z4、Z2、Z1）があり、最後に対称性がないことを意味する。

対称性による八角形の例
r16
d8	g8	p8
d4	g4	p4
d2	g2
a1

通常の八角形には、11の異なる対称性があります。ジョン-コンウェイは完全対称性をr16と分類している。二面体対称性は、頂点（対角の場合はd）を通過するか、辺（垂直の場合はp）を通過するかによって分割され、中央の列の循環対称性は、中央の回転次数に対してgとラベル付けされる。正則形式の完全対称性はr16であり、対称性はa1とラベルされていません。

最も一般的な高対称八角形はp8であり、四つの鏡で構成された等方八角形は長辺と短辺を交互にすることができ、d8は等方八角形であり、端の長さは等しいが頂点は二つの異なる内角を交互にする。これらの2つの形式は互いに双対であり、通常の八角形の対称性の半分の順序を持っています。

各部分群対称性は、不規則な形に対して一つ以上の自由度を可能にする。 G8部分群だけが自由度を持たないが、有向辺として見ることができる。

八角形の使い方

八角形の間取り、岩のドーム。

八角形の形状は、建築の設計要素として使用されます。岩のドームは特徴的な八角形の計画を持っています。アテネの風の塔は、八角形の構造のもう一つの例です。八角形の計画はまた、聖ジョージ大聖堂、アディスアベバ、サンヴィターレ大聖堂（ラヴェンナ、イタリア）、カステルデルモンテ（プーリア、イタリア）、フィレンツェ洗礼堂、ツムフリーデフュルステン教会（ドイツ）、ノルウェーの八角形の教会の数などの教会建築にされています。アーヘン大聖堂の中央空間であるカロリング朝のパラティーヌ礼拝堂は、規則的な八角形の床板を持っています。教会での八角形の使用には、ニダロス大聖堂の八角形の後陣のような小さなデザイン要素も含まれています。

John Andrewsのような建築家は、ワシントンD.C.のIntelsat本社、キャンベラのCallamオフィス、オーストラリアのParramattaのOctagonオフィスなど、オフィスエリアを建物サービスから機能的に分離するために、建物内の八角形の床レイアウトを使用している。

その他の用途

傘はしばしば八角形の輪郭を持っています。
有名なBukharaの敷物の設計は八角形の”象のフィート”のモチーフを組み込む。
バルセロナのエイサンプル地区の通り&ブロックレイアウトは、非正規の八角形に基づいています
Janggiは八角形の作品を使用しています。
日本の宝くじ機は、多くの場合、八角形を持っています。
英語圏の国だけでなく、ほとんどのヨーロッパ諸国で使用される停止記号
中央に手で停止記号のアイコン。
道教の八卦の卦は、多くの場合、八角形に配置されています
Belitung難破船から有名な八角形の金のカップ
シマー大学の授業は伝統的に八角形のテーブルの周りに開催されています
準八角形の形をしたランス大聖堂の迷路。
Nintendo64コントローラ、GameCubeコントローラ、Wii NunchukおよびClassicコントローラのアナログスティックの動きは、回転した八角形の領域によって制限されており、スティックが8つの異なる方向に移動することができます。

派生フィギュア

切り捨てられた正方形のタイルは、すべての頂点の周りに2つの八角形を持っています。
八角形のプリズムには、二つの八角形の面が含まれています。
八角形の反プリズムには、二つの八角形の面が含まれています。
切り捨てられた立方八面体には6つの八角形の面が含まれています。

画像								…
名前	八角形	角柱	角柱	角柱	角柱	角柱	角柱		角柱	角柱	角柱	角柱	角柱	角柱	角柱	角柱
コクセター図
頂点図形	()v( )	()v{ }	()v{3}	()v{3,3}	( )v{3,3,3}	( )v{3,3,3,3}	( )v{3,3,3,3,3}

							…
八角形	菱形八面体	ランセレートテッセラクト	ステラレート5-立方体	五角形6-立方体	六角錐7-立方体	七角錐8-立方体

一般的な八角形の特性

正八角形