Octagon

regelmatige achthoek

Type

regelmatige veelhoek

randen en hoekpunten

Schläfli-symbool

{8}, t{4}

Coxeter-Dynkin-diagrammen

Symmetriegroep

Dihedraal (D8), orde 2×8

interne hoek (graden)

135°

eigenschappen

Convex, cyclisch, gelijkzijdig, isogonaal, isotoxaal

in de meetkunde is een achthoek (van het griekseκκτάγωνον oktágōnon, “acht hoeken”) een achtzijdige veelhoek of 8-gon.

een regelmatige achthoek heeft het Schläfli-symbool {8} en kan ook geconstrueerd worden als een quasiregulair afgeknot vierkant, t{4}, dat twee soorten randen afwisselt. Een afgeknotte achthoek, t{8} is een hexadecagon, {16}. Een 3D analoog van de achthoek kan de rhombicuboctaëder zijn met de driehoekige gezichten erop als de vervangen randen, als men de achthoek beschouwt als een afgekapt vierkant.

eigenschappen van de Algemene achthoek

de som van alle inwendige hoeken van een achthoek is 1080°. Zoals bij alle polygonen, de externe hoeken totaal 360°.

als alle vierkanten intern of extern worden geconstrueerd aan de zijkanten van een achthoek, dan vormen de middelpunten van de segmenten die de middenpunten van de tegenoverliggende vierkanten met elkaar verbinden een vierhoek die zowel equidiagonaal als orthodiagonaal is (dat wil zeggen, waarvan de diagonalen gelijk zijn in lengte en loodrecht op elkaar staan).: Prop. 9

de middelste achthoek van een referentie achthoek heeft zijn acht hoekpunten in het midden van de zijkanten van de referentie achthoek. Als vierkanten allemaal intern of extern worden geconstrueerd aan de zijkanten van de middelste achthoek, dan vormen de middelpunten van de segmenten die de middenpunten van de tegenoverliggende vierkanten onderling verbinden de hoekpunten van een vierkant.: Prop. 10

regelmatige achthoek

een regelmatige achthoek is een gesloten figuur met zijden van dezelfde lengte en inwendige hoeken van dezelfde grootte. Het heeft acht lijnen van reflecterende symmetrie en rotatiesymmetrie van orde 8. Een regelmatige achthoek wordt voorgesteld door het Schläfli-symbool {8}.De interne hoek op elk hoekpunt van een regelmatige achthoek is 135° (3 π 4 {\displaystyle \ scriptstyle {\frac {3 \ pi }{4}}} radialen). De centrale hoek is 45° (π 4 {\displaystyle \ scriptstyle {\frac {\pi }{4}}} radialen).

oppervlakte

de oppervlakte van een regelmatige achthoek met zijdelengte a wordt gegeven door

A = 2 Katoen cot π 8 a 2 = 2 (1 + 2) a 2 4. 4,828 a 2 . {\displaystyle A = 2 \ cot {\frac {\pi} {8}}a^{2}=2(1+{\sqrt {2}}) a^{2}\simeq 4.828\, a^{2}.}

in termen van de circumradius R is het gebied

A = 4 sin π π 4 R 2 = 2 2 R 2.8 2.828 R 2 . {\displaystyle A=4 \ sin {\frac {\pi }{4}} R^{2}=2{\sqrt {2}}R^{2}\simeq 2.828\, R^{2}.}

in termen van de apotheker r (zie ook de inscriptie) is het oppervlak

A = 8 tan π π 8 r 2 = 8 (2 − 1 ) r 2 3.3 3.314 r 2 . {\displaystyle A = 8 \ tan {\frac {\pi }{8}}r^{2}=8 ({\sqrt {2}}-1)r^{2}\simeq 3.314\,r^{2}.}

deze laatste twee coëfficiënten komen overeen met de waarde van pi, de oppervlakte van de eenheidscirkel.

het gebied kan ook worden uitgedrukt als

A = S 2 − a 2, {\displaystyle \,\!A=S^{2} – a^{2},}

waarbij S De overspanning is van de achthoek, of de op een na Kortste diagonaal; en a de lengte is van een van de zijden of basen. Dit is gemakkelijk te bewijzen als men een achthoek neemt, een vierkant rond de buitenkant tekent (zorg ervoor dat vier van de acht zijden overlappen met de vier zijden van het vierkant) en vervolgens de hoek driehoeken neemt (dit zijn 45-45-90 driehoeken) en ze plaatst met rechte hoeken naar binnen gericht, waardoor een vierkant wordt gevormd. De randen van dit vierkant zijn elk de lengte van de basis.

gegeven de lengte van een zijde A is de overspanning S

S = a 2 + a + a 2 = (1 + 2 ) a ≈ 2.414 a . {\displaystyle S={\frac {a}{\sqrt {2}}}+a + {\frac {a}{\sqrt {2}}}=(1+{\sqrt {2}}) a \ approx 2,414 a.}

de overspanning is dan gelijk aan de zilververhouding maal de zijde, a.

de oppervlakte is dan als hierboven:

A = ( ( 1 + 2 ) a ) 2 − a 2 = 2 ( 1 + 2 ) a 2 ≈ 4.828 a 2 . {\displaystyle A=((1+{\sqrt {2}}) a)^{2} – a^{2}=2(1+{\sqrt {2}}) a^{2}\approx 4.828 a^{2}.}

uitgedrukt in overspanning is de oppervlakte

A = 2 (2 − 1 ) S 2 ≈ 0,828 s 2 . {\displaystyle A=2 ({\sqrt {2}}-1) s^{2}\approx 0,828 s^{2}.}

een andere eenvoudige formule voor de oppervlakte is

A = 2 A S . {\displaystyle \ A=2aS.}

vaak is de overspanning S bekend en moet de lengte van de zijkanten, a, worden bepaald, zoals bij het snijden van een vierkant stuk materiaal tot een regelmatige achthoek. Uit het bovenstaande,

A ≈ S / 2.414. {\displaystyle a \ approx s / 2.414.}

de twee eindlengtes e aan elke zijde (de beenlengtes van de driehoeken (groen in de afbeelding) afgekapt van het vierkant), evenals e = a / 2 {\displaystyle e=a/{\sqrt {2}},} kunnen worden berekend als

e = ( S − a ) / 2. {\displaystyle \,\!e=(S-a) / 2.}

Circumradius en inradius

De circumradius van de regelmatige achthoek in termen van de lengte van de zijde a

R = ( 4 + 2 2 2 ) een , {\displaystyle R=\left({\frac {\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}{2}}\rechts)a,}

en de inradius is

r = ( 1 + 2 2). {\displaystyle r= \ left ({\frac {1 + {\sqrt {2}}}{2}}\rechts) a.}

(dat is de helft van de zilververhouding maal de zijde, A, of de helft van de overspanning, S)

diagonalen

de reguliere achthoek, in termen van de zijde lengte a, heeft drie verschillende soorten diagonalen:

• korte diagonaal;
• middelste diagonaal (ook spanwijdte of hoogte genoemd), die tweemaal de lengte van de inradius is;
• lange diagonaal, die tweemaal de lengte van de circumradius is.

de formule voor elk van hen volgt uit de basisprincipes van de meetkunde. Hier zijn de formules voor hun lengte:

• Korte diagonaal: een 2 + 2 {\displaystyle een{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}} ;
• Medium diagonaal: ( 1 + 2) {\displaystyle (1+{\sqrt {2}})a} ; (zilver ratio keer een)
• Lange diagonaal: 4 + 2 2 {\displaystyle een{\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}} .

constructie en elementaire eigenschappen

een regelmatige achthoek bij een bepaalde omtrek kan als volgt worden geconstrueerd:

1. teken een cirkel en een diameter AOE, waarbij O het centrum is en A, E Punten zijn op de omtrek.
2. trek een andere diameter GOC, loodrecht op AOE.
3. (Let erop dat A,C,E, G hoekpunten van een vierkant zijn).
4. teken de delen van de rechte hoeken GOA en EOG, waardoor nog twee diameters HOD en FOB.
5. A, B,C,D,E,F,G, H zijn de hoekpunten van de achthoek.

een regelmatige achthoek kan worden geconstrueerd met behulp van een rechte lijn en een kompas, als 8 = 23, een macht van twee:

de reguliere achthoek kan worden gebouwd met Meccano bars. Twaalf staven van maat 4, drie staven van maat 5 en twee staven van maat 6 zijn vereist.

elke zijde van een regelmatige achthoek legt een halve rechte hoek in het midden van de cirkel die zijn hoekpunten verbindt. De oppervlakte kan dus worden berekend als de som van 8 gelijkbenige driehoeken, wat leidt tot het resultaat:

Area = 2 a 2 (2 + 1 ) {\displaystyle {\text{Area}} = 2a^{2}({\sqrt {2}}+1)}

voor een achthoek van zijde a.

Standaardcoördinaten

zijn de Coördinaten voor de hoekpunten van een regelmatige achthoek gecentreerd op de oorsprong en met zijde lengte 2::

• (±1, ±(1+√2))
• (±(1+√2), ±1).

dissectie

8-kubusprojectie	24 ruit-dissectie
	Regular	Isotoxaal

Coxeter stelt dat elke zonogon (een 2m-gon waarvan de tegenoverliggende zijden evenwijdig en van gelijke lengte zijn) kan worden ontleed in m (m-1) / 2 parallelograms.In dit geldt met name voor regelmatige veelhoeken met gelijkmatig vele zijden, in welk geval de parallelogrammen allemaal rhombi zijn. Voor de reguliere achthoek, m = 4, en het kan worden onderverdeeld in 6 ruiten, met een voorbeeld hieronder. Deze ontleding kan gezien worden als 6 van de 24 vlakken in een Petrie polygoon projectievlak van de tesseract. De lijst (sequentie A006245 in de OEIS) definieert het aantal oplossingen als 8, door de 8 oriëntaties van deze ene dissectie. Deze vierkanten en ruiten worden gebruikt in de Ammann–Beenker tegels.

regelmatige achthoek ontleed

Tesseract

4 ruitjes en 2 vierkant

schuin achthoek

een schuine achthoek is een schuine veelhoek met 8 hoekpunten en randen, maar niet op hetzelfde vlak. Het interieur van een dergelijke achthoek is niet algemeen gedefinieerd. Een scheve zig-zag achthoek heeft hoekpunten afwisselend tussen twee parallelle vlakken.

een regelmatige schuine achthoek is vertex-transitief met gelijke randlengtes. In 3-dimensies zal het een zig-zag schuine achthoek zijn en kan worden gezien in de hoekpunten en zijranden van een vierkant antiprisma met dezelfde D4D, symmetrie, orde 16.Petrie polygonen

de regelmatige schuine achthoek is de Petrie veelhoek voor deze hoger-dimensionale regelmatige en uniforme polytopen, weergegeven in deze schuine orthogonale projecties van de Coxetervlakken A7, B4 en D5.

A7	D5	B4
7-simplex	5-demicube	16-cel	Tesseract

symmetrie van achthoek

symmetrie

de 11 symmetrieën van een regelmatige achthoek. Lijnen van reflecties zijn blauw door hoekpunten, paars door randen, en gyration orders worden gegeven in het centrum. Hoekpunten zijn gekleurd door hun symmetrie positie.

de regelmatige achthoek heeft Dih8 symmetrie, orde 16. Er zijn 3 dihedrale subgroepen: Dih4, Dih2 en Dih1, en 4 cyclische subgroepen: Z8, Z4, Z2 en Z1, de laatste impliceert geen symmetrie.

voorbeeld achthoeken door symmetrie

r16
d8	g8	p8
d4	g4	p4
d2	g2	p2
a1

op de reguliere achthoek zijn er 11 verschillende symmetrieën. John Conway labelt volledige symmetrie als r16. De dihedrale symmetrieën worden verdeeld afhankelijk van of ze door hoekpunten (D Voor diagonaal) of randen (p voor loodlijnen) gaan cyclische symmetrieën in de middelste kolom worden aangeduid als g voor hun centrale ronddraaiorden. Volledige symmetrie van de reguliere vorm is r16 en geen symmetrie wordt aangeduid als a1.

de meest voorkomende hoge symmetrie-achthoeken zijn p8, een isogonale achthoek die door vier spiegels wordt geconstrueerd, kunnen lange en korte randen afwisselen, en d8, een isotoxische achthoek die is geconstrueerd met gelijke randlengtes, maar hoekpunten die twee verschillende interne hoeken afwisselen. Deze twee vormen zijn dualen van elkaar en hebben de helft van de symmetrie orde van de reguliere achthoek.

elke subgroepsymmetrie biedt een of meer vrijheidsgraden voor onregelmatige vormen. Alleen de subgroep van de g8 heeft geen vrijheidsgraden, maar kan worden gezien als gerichte randen.

gebruik van achthoeken

de achthoekige vorm wordt gebruikt als ontwerpelement in de architectuur. De koepel van de rots heeft een karakteristieke achthoekige plattegrond. De Toren van de winden in Athene is een ander voorbeeld van een achthoekige structuur. Het achthoekige plan is ook in de kerkarchitectuur geweest, zoals de Sint-Joriskathedraal, Addis Abeba, Basiliek van San Vitale (in Ravenna, Italië), Castel del Monte (Apulië, Italië), Florence doopkapel, zum Friedefürsten kerk (Duitsland) en een aantal achthoekige kerken in Noorwegen. De centrale ruimte in de Dom van Aken, de Karolingische Palatijnkapel, heeft een regelmatige achthoekige plattegrond. Het gebruik van achthoeken in kerken omvat ook minder ontwerpelementen, zoals de achthoekige apsis van de Nidaros kathedraal.

architecten zoals John Andrews hebben achthoekige vloerindelingen in gebouwen gebruikt om kantoorruimtes functioneel te scheiden van gebouwdiensten, met name het Intelsat hoofdkantoor in Washington D. C., Callam kantoren in Canberra en Octagon kantoren in Parramatta, Australië.

Overig gebruik

• 

  Paraplu ‘ s hebben vaak een achthoekige omtrek.

• 

  de beroemde Bukhara tapijt ontwerp bevat een achthoekige “olifant voet” motief.

• 

  de straat & blok lay-out van Barcelona ‘ s wijk Eixample is gebaseerd op niet-reguliere achthoeken

• 

  Janggi gebruikt achthoekige stukken.

• 

  Japanse loterij machines hebben vaak achthoekige vorm.

• 

  stopbord gebruikt in Engelstalige landen, evenals in de meeste Europese landen

• 

  een icoon van een stopbord met een hand in het midden.

• 

  De trigrammen van de Taoïstische bagua zijn vaak georganiseerd octagonally

• 

  Beroemde achthoekige gouden beker van de Belitung schipbreuk

• 

  Lessen op Shimer College zijn traditioneel gehouden rond de achthoekige tabellen

• 

  Het Labyrint van de Kathedraal van Reims met een quasi-achthoekige vorm.

• 

  de beweging van de analoge stick(s) van de Nintendo 64 controller, de GameCube controller, de Wii Nunchuk en de Classic Controller wordt beperkt door een geroteerd achthoekig gebied, waardoor de stick in slechts acht verschillende richtingen kan bewegen.

afgeleide cijfers

• 

  de afgeknotte vierkante tegels heeft 2 achthoeken rond elk hoekpunt.
  

• 

  een achthoekig prisma bevat twee achthoekige gezichten.
  

• 

  een achthoekig antiprisma bevat twee achthoekige gezichten.
  

• 

  de afgeknotte kuboctaëder bevat 6 achthoekige zijden.
  

verwante polytopen

de achthoek, als een afgeknot vierkant, is het eerste in een opeenvolging van afgeknotte hyperkubussen:

afgeknotte hyperkubussen

afbeelding								…
naam	achthoek	afgeknotte kubus	afgeknotte Tesseract	afgeknotte 5-kubus	afgeknotte 6-kubus	afgeknotte 7-kubus	afgeknotte 8-kubus
Coxeterdiagram
Vertex-figuur	() v( )	() v{ }	() v{3}	() v{3,3}	( )v{3,3,3}	( )v{3,3,3,3}	( )v{3,3,3,3,3}

als een geëxpandeerd vierkant, is het ook eerst in een opeenvolging van geëxpandeerde hyperkubussen:

uitgebreide hyperkubussen

							…
achthoek	Rhombicuboctaëder	Runcinated tesseract	Stericated 5-cube	Pentelleerde 6-cube	Hexicated 7-cube	Heptelated 8-cube

zie ook

• Bumperpool
• achthoekig huis
• achthoekig getal
• achthoekig getal
• achthoekig getal
• Octagram
• octaëder, 3D-vorm met acht vlakken.
• Oktogon, een belangrijk kruispunt in Boedapest, Hongarije
• Rub el Hizb (ook bekend als Al Quds Star en Octa Star)
• gladgestreken achthoek

zoek octagon op in Wiktionary, het gratis woordenboek.

• Achthoekencalculator
• definitie en eigenschappen van een achthoek met interactieve animatie