Octagon

Ośmiokąt zwykły

Typ

wielokąt regularny

krawędzie i wierzchołki

symbol Schläfli

{8}, t{4}

diagramy Coxetera-Dynkina

Grupa symetrii

Dihedral (D8), kolejność 2×8

kąt wewnętrzny (stopnie)

135°

właściwości

wypukły, cykliczny, równoboczny, izogonowy, izotoksyczny

w geometrii ośmiokąt (z greckiego ὀκτάγωνον oktágōnon, „osiem kątów”) jest ośmiobocznym wielokątem lub 8-Gonem.

regularny ośmiokąt ma symbol Schläfli {8} i może być również skonstruowany jako kwadratowy kwadrat ścięty, t{4}, który zmienia dwa rodzaje krawędzi. Ścięty ośmiokąt, t{8} jest szesnastkiem, {16}. Trójwymiarowym analogiem ośmiokąta może być rombowo-ośmiościan z trójkątnymi powierzchniami na nim, takimi jak zastąpione krawędzie, jeśli uważa się, że ośmiokąta jest ścięty kwadrat.

właściwości Oktagonu generalnego

suma wszystkich kątów wewnętrznych dowolnego ośmiokąta wynosi 1080°. Podobnie jak w przypadku wszystkich wielokątów, kąty zewnętrzne wynoszą 360°.

jeśli kwadraty są skonstruowane wewnętrznie lub zewnętrznie po bokach ośmiokąta, to punkty środkowe segmentów łączących środki przeciwległych kwadratów tworzą czworobok, który jest zarówno równy, jak i ortodiagonalny (to znaczy, którego przekątne są równe długości i pod kątem prostym do siebie).: Prop. 9

ośmiokąt punktu środkowego ośmiokąt odniesienia ma osiem wierzchołków w punktach środkowych boków ośmiokąt odniesienia. Jeśli kwadraty są zbudowane wewnętrznie lub zewnętrznie na bokach ośmiokąta punktu środkowego, to punkty środkowe segmentów łączących środki przeciwległych kwadratów tworzą wierzchołki kwadratu.: Prop. 10

Ośmiokąt regularny

ośmiokąt regularny to zamknięta figura o bokach tej samej długości i kątach wewnętrznych tej samej wielkości. Posiada osiem linii symetrii refleksyjnej i symetrii obrotowej rzędu 8. Regularny ośmiokąt jest reprezentowany przez symbol Schläfli {8}.Kąt wewnętrzny każdego wierzchołka regularnego ośmiokąta wynosi 135 ° (3 π 4 {\displaystyle \ scriptstyle {\frac {3 \ pi }{4}}} Kąt centralny wynosi 45° ( π 4 {\displaystyle \ scriptstyle {\frac {\pi }{4}}} radians).

Powierzchnia

powierzchnia regularnego ośmiokąta o długości boku a jest podana przez

a = 2 cot π π 8 a 2 = 2 ( 1 + 2 ) a 2 ≃ 4,828 a 2 . {\displaystyle A=2 \ cot {\frac {\pi} {8}} a^{2}=2(1+{\sqrt {2}}) a^{2} \ simeq 4.828\,a^{2}.

pod względem obwodu R powierzchnia wynosi

a = 4 sin π π 4 R 2 = 2 2 R 2 ≃ 2,828 R 2 . {\displaystyle A=4 \ sin {\frac {\pi} {4}}R^{2}=2 {\sqrt{2}}R^{2}\simeq 2.828\, R^{2}.

jeśli chodzi o apotemię r (zob. też rysunek), powierzchnia wynosi

a = 8 tan π π 8 R 2 = 8 ( 2 − 1 ) r 2 ≃ 3,314 r 2 . {\displaystyle A=8 \ tan {\frac {\pi} {8}}r^{2}=8 ({\sqrt {2}}-1)r^{2}\simeq 3.314\,r^{2}.

te dwa ostatnie współczynniki obejmują wartość pi, pole okręgu jednostkowego.

obszar można również wyrazić jako

A = S 2-a 2, {\displaystyle \,\!A = S^{2} – a^{2},}

gdzie S jest rozpiętością ośmiokąta lub drugą najkrótszą przekątną, A A jest długością jednego z boków lub podstawy. Można to łatwo udowodnić, jeśli weźmie się ośmiokąt, rysuje kwadrat na zewnątrz (upewniając się, że cztery z ośmiu boków pokrywają się z czterema bokami kwadratu), a następnie bierze Trójkąty narożne (są to Trójkąty 45-45-90) i umieszcza je z kątami prostymi skierowanymi do wewnątrz, tworząc kwadrat. Krawędzie tego kwadratu są długości podstawy.

biorąc pod uwagę długość boku a, rozpiętość s wynosi

s = a 2 + a + a 2 = ( 1 + 2 ) a ≈ 2,414 a . {\displaystyle S = {\frac {a}{\sqrt {2}}}+a+{\frac {a}{\sqrt {2}}}=(1+{\sqrt {2}}) a\ok.2,414 a.

rozpiętość jest równa współczynnikowi srebra razy bok, a.

powierzchnia jest wtedy jak wyżej:

a = ( ( 1 + 2 ) a ) 2 − a 2 = 2 ( 1 + 2 ) a 2 ≈ 4,828 a 2 . {\displaystyle A=((1+{\sqrt {2}}) a)^{2}-a^{2}=2(1+{\sqrt {2}}) a^{2}\approx 4.828 a^{2}.}

a = 2 (2-1 ) S 2 ≈ 0,828 S 2 . {\displaystyle A=2 ({\sqrt {2}}-1) s^{2}\approx 0.828 s^{2}.}

innym prostym wzorem dla obszaru jest

a = 2 A S . {\displaystyle \ A=2aS.

częściej znana jest rozpiętość s, a długość boków, a, należy określić, tak jak przy cięciu kwadratowego kawałka materiału w regularny ośmiokąt. Z powyższego,

a ≈ s / 2.414. {\displaystyle A \ approx S / 2.414.

dwie długości końców e z każdej strony (długości nóg trójkątów ( zielone na obrazku) obcięte od kwadratu), a także e = a / 2 , {\displaystyle e=a/{\sqrt {2}},} mogą być obliczone jako

e = (S − A ) / 2. {\displaystyle \,\!e=(S-a) / 2.}

Circumradius i inradius

circumradius regularnego ośmiokąta pod względem długości boku a wynosi

R = ( 4 + 2 2 2 ) a, {\displaystyle R=\left ({\frac {\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}{2}}\right) a,}

i inradius jest

r = ( 1 + 2 2 ) a . {\displaystyle r=\left ({\frac {1+{\sqrt {2}}}{2}}\right) a.}

(to jest połowa srebrnego stosunku razy bok, a lub połowa rozpiętości, S)

przekątne

regularny ośmiokąt, pod względem długości boku a, ma trzy różne rodzaje przekątnych:

• krótka przekątna;
• Średnia przekątna (zwana również rozpiętością lub wysokością), która jest dwukrotnie dłuższa od inradiusa;
• długa przekątna, która jest dwukrotnie dłuższa od circumradius.

wzór dla każdego z nich wynika z podstawowych zasad geometrii. Oto wzory na ich długość:

• krótka przekątna: a 2 + 2 {\displaystyle a {\sqrt {2 + {\sqrt {2}}}}} ;
• Średnia przekątna: ( 1 + 2 ) A {\displaystyle (1+{\sqrt {2}})a} ; (współczynnik srebra razy a)
• długa przekątna: a 4 + 2 2 {\displaystyle A{\sqrt {4 + 2{\sqrt {2}}}}} .

Budownictwo i nieruchomości

regularny ośmiokąt na danym obwodzie może być skonstruowany w następujący sposób:

1. narysuj okrąg i średnicę AOE, gdzie O jest środkiem, A A, E są punktami na obwodzie.
2. narysuj inną średnicę, prostopadłą do AOE.
3. (zauważ, że A, C, E, G są wierzchołkami kwadratu).
4. narysuj bisektory kątów prostych GOA i EOG, tworząc dwie kolejne średnice HOD i FOB.
5. A,B,C,D,E,F,G, H są wierzchołkami ośmiokąta.

regularny ośmiokąt może być skonstruowany za pomocą prostej i kompasu, ponieważ 8 = 23, moc dwóch:

regularny ośmiokąt może być zbudowany z prętów meccano. Wymagane jest dwanaście prętów o rozmiarze 4, trzy pręty o rozmiarze 5 i dwa pręty o rozmiarze 6.

każdy bok regularnego ośmiokąta dzieli pół kąta prostego w środku okręgu, który łączy jego wierzchołki. Jego obszar można zatem obliczyć jako sumę 8 trójkątów równoramiennych, co prowadzi do wyniku:

Area = 2 a 2 ( 2 + 1 ) {\displaystyle {\text{Area}}=2a^{2}({\sqrt {2}}+1)}

dla ośmioboku boku a.

współrzędne Standardowe

współrzędne wierzchołków regularnego ośmioboku wyśrodkowanego na początku i o długości boku 2 wynoszą:

• (±1, ±(1+√2))
• (±(1+√2), ±1).

8-rzut kostki	24 rozwarstwienie rombu
	regularne

Coxeter stwierdza, że każdy zonogon (2m-gon, którego przeciwległe boki są równoległe i równej długości) można rozciąć na m (m-1)/2 parallelograms.In szczególnie dotyczy to regularnych wielokątów o równomiernie wielu bokach, w którym to przypadku równoległobok jest rombem. Dla regularnego ośmiokąta, m=4, i można go podzielić na 6 rombów, z jednym przykładem pokazanym poniżej. Ten rozkład może być postrzegany jako 6 z 24 twarzy w płaszczyźnie projekcji wielokąta Petriego tesseraktu. Lista (Sekwencja a006245 w OEIS) definiuje liczbę rozwiązań jako 8, przez 8 orientacji tego jednego rozbioru. Te kwadraty i romby są używane w tilings Ammann-Beenker.

Ośmiokąt regularny

Tesseract

4 romby i 2 kwadraty

skośny ośmiokąt

ośmiokąt skośny to skośny wielokąt z 8 wierzchołkami i krawędziami, ale nie istniejący na tej samej płaszczyźnie. Wnętrze takiego ośmiokąta nie jest ogólnie określone. Ośmiokąt zygzakowaty ma wierzchołki naprzemiennie pomiędzy dwiema równoległymi płaszczyznami.

regularny ośmiokąt skośny jest wierzchołkowo-przechodni o jednakowych długościach krawędzi. W trójwymiarze będzie to zygzakowaty ośmiokąt i można go zobaczyć w wierzchołkach i krawędziach bocznych kwadratowego antypryzmu o tej samej D4d, symetrii, porządku 16.

wielokąty Petriego

regularny ośmiokąt pochylenia jest wielokątem Petriego dla tych wyższych wymiarów regularnych i jednorodnych politopów, pokazanych w tych pochylonych rzutach ortogonalnych w płaszczyznach Koksetera A7, B4 i D5.

A7	D5	B4
7-simplex	5-demicube	16-komórkowy	Tesseract

symetria ośmiokąta

symetria

11 symetrii regularnego ośmiokąta. Linie odbić są niebieskie przez wierzchołki, fioletowe przez krawędzie, a w środku podane są rzędy ruchu. Wierzchołki są zabarwione przez ich położenie symetrii.

ośmiokąt regularny ma symetrię Dih8, rzędu 16. Istnieją 3 podgrupy dihedryczne: Dih4, Dih2 i Dih1 oraz 4 podgrupy cykliczne: Z8, Z4, Z2 i Z1, ostatnia oznaczająca brak symetrii.

przykładowe ośmiokąty według symetrii

r16
D8	G8	p8
D4	g4	p4
D2	G2	p2
a1

na regularnym ośmiokątu znajduje się 11 wyraźnych symetrii. John Conway określa pełną symetrię jako r16. Symetrie dwuedryczne są podzielone w zależności od tego, czy przechodzą przez wierzchołki (D dla przekątnej), czy krawędzie (p dla prostopadłościanów) symetrie Cykliczne w kolumnie Środkowej są oznaczone jako g dla ich centralnych rzędów żyracji. Pełna symetria formy regularnej to r16, a żadna symetria nie jest oznaczona a1.

najczęściej spotykanymi ośmiokątami o wysokiej symetrii są p8, ośmiokąty izogonalne zbudowane przez cztery zwierciadła mogą zmieniać długie i krótkie krawędzie, oraz D8, ośmiokąty izogonalne zbudowane z jednakowymi długościami krawędzi, ale wierzchołki naprzemiennie dwa różne kąty wewnętrzne. Te dwie formy są dualami siebie i mają połowę porządku symetrii regularnego ośmiokąta.

każda symetria podgrupy pozwala na jeden lub więcej stopni swobody dla nieregularnych form. Tylko podgrupa g8 nie ma stopni swobody, ale może być postrzegana jako skierowane krawędzie.

zastosowanie ośmiokątów

kształt ośmiokąta jest wykorzystywany jako element konstrukcyjny w architekturze. Kopuła skały ma charakterystyczny ośmioboczny plan. Wieża wiatrów w Atenach jest kolejnym przykładem ośmiobocznej konstrukcji. Jerzego, Addis Abeby, Bazyliki San Vitale (Rawenna, Włochy), Castel del Monte (Apulia, Włochy), Baptysterium we Florencji, Kościół zum Friedefürsten (Niemcy) i wiele ośmiokątnych kościołów w Norwegii. Centralna przestrzeń katedry w Akwizgranie, Kaplica Palatyńska Karolingów, ma regularny ośmioboczny plan piętra. Zastosowanie ośmiokątów w kościołach obejmuje również mniejsze elementy konstrukcyjne, takie jak ośmiokątna apsyda katedry Nidaros.

Architekci, tacy jak John Andrews, wykorzystali ośmiokątne układy pięter w budynkach do funkcjonalnego oddzielenia obszarów biurowych od usług budowlanych, w szczególności siedziba Intelsat w Waszyngtonie, biura Callam w Canberze i biura Octagon w Parramatta w Australii.

inne zastosowania

• 

  parasole często mają ośmiokątny zarys.

• 

  słynny dywan Bukhara zawiera ośmiokątny motyw „stopy słonia”.

• 

  ulica & układ bloków barcelońskiej dzielnicy Eixample opiera się na nieregularnych ośmiokątach

• 

  Janggi używa ośmiokątnych elementów.

• 

  Japońskie maszyny loteryjne często mają Ośmiokątny kształt.

• 

  Znak Stop używany w krajach anglojęzycznych, a także w większości krajów europejskich

• 

  ikona znaku stopu z ręką pośrodku.

• 

  trygramy taoistycznego bagua są często ułożone ośmiokątnie

• 

  słynny ośmiokątny złoty kubek z wraku Belitung

• 

  zajęcia w Shimer College tradycyjnie odbywają się przy ośmiokątnych stołach

• 

  labirynt katedry w Reims o kształcie quasi-ośmiobocznym.

• 

  ruch drążka analogowego kontrolera Nintendo 64, kontrolera GameCube, Wii Nunchuk i klasycznego kontrolera jest ograniczony przez obrócony ośmiokątny obszar, dzięki czemu drążek może poruszać się tylko w ośmiu różnych kierunkach.

liczby pochodne

• 

  ścięty kwadratowy kafelek ma 2 ośmiokąty wokół każdego wierzchołka.
  

• 

  An Ośmiokątny pryzmat contains two Octagon faces.
  

• 

  An octagonal antiprism contains two octagonal faces.
  

• 

  ścięty cuboctahedron zawiera 6 ośmiobocznych twarzy.
  

pokrewne

ośmiokąt, jako ścięty kwadrat, jest pierwszy w sekwencji ściętych hipersześcianów:

obcięte hipersześciany

obrazek								…
Nazwa	Octagon	ścięty sześcian	ścięty tesseract	ścięty 5-sześcian	ścięty 6-sześcian	ścięty 7-sześcian	ścięty 8-sześcian
schemat Coxetera
Liczba wierzchołków	() v( )	() v{ }	() v{3}	() v{3,3}	( )v{3,3,3}	( )v{3,3,3,3}	( )v{3,3,3,3,3}

jako rozwinięty kwadrat jest również pierwszy w sekwencji rozszerzonych hipersześcianów:

							…
Ośmiokąt	Ромбикубоктаэдр	Ранцированный tesserakt	Стерический 5-sześcienny	Pięciokąt 6-sześcienny	Sześciokątny 7-sześcienny	Семигранный 8-sześcienny

Zobacz również

• basen zderzaka
• Dom Ośmiokątny
• liczba Ośmiokątna
• Oktagram
• ośmiościan, kształt 3D z ośmioma twarzami.
• Oktogon, główne skrzyżowanie w Budapeszcie na Węgrzech
• Rub el Hizb (znany również jako Al Quds Star i jako Octa Star)
• wygładzony ośmiokąt

poszukaj octagon w Wikisłowniku, darmowym słowniku.

• Kalkulator ośmiokąta
• Definicja i właściwości ośmiokąta z interaktywną animacją