em primeiro lugar, este é todo o material básico que você precisa saber sobre Funções trigonométricas:
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que seno e cosseno de um determinado ângulo representam no círculo unitário.
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a compreensão geométrica acima imediatamente lhe dá a identidade fundamental: sin2 θ + cos2 θ = 1. Este é apenas o teorema de Pitágoras aplicado ao seno e cosseno e ao círculo unitário.
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você precisará memorizar as definições das outras funções em termos de seno e cosseno: tan x = sin x / cos x, sec x = 1 / cos x, etc. Não é incrivelmente útil ou importante tentar obter uma sensação geométrica para estes em termos de círculo unitário, no entanto.
agora, dito isto, eu recomendo que você comece a pensar em tudo isso em termos de números complexos e radianos. Isso é algo que você só verá muito mais tarde no cálculo, mas é conceitualmente simples o suficiente, e poderoso o suficiente, para ser entendido e usado agora.
neste ponto, você já está familiarizado com as regras básicas de números complexos, o que não está muito além do fato i2 = -1. Como tal:
(a+bi) (c+di) = ac + adi + bci + bdi2 = (ac – bd) + (ad + bc)·i
, Que é básica Frustrar a multiplicação.
você provavelmente se lembra da função exponencial e do logaritmo natural também, que envolvem um número especial chamado E. esse número se torna muito importante mais tarde no cálculo, então se acostumar com isso agora também não vai te machucar.
Agora, há muito incrível fórmula, conhecida como Fórmula de Euler (ver o artigo para a explicação de onde ela vem, não é muito difícil de se entender a este nível), o que dá a você o seguinte incrivelmente úteis relação:
eix = cos(x) + i·sin(x)
Basicamente, eix traça o círculo unitário no complexo de avião para x dado em radianos (radianos, isto é importante!)
usando eix, você pode derivar rapidamente todas as identidades trigonométricas. Por exemplo, você quer saber o que é pecado(A+b) ou cos(A+b) (ou a-b). Substituir x = (a+b) na fórmula de Euler e usar as regras conhecidas por exponenciais para quebrá-lo:
eix =
ei(a+b) =
aia·bei =
·
Agora, Frustrando o produto:
· =
cos(a)cos(b) + i·cos(a)sin(b) + i·sin(a)cos(b) + i2·sin(a)sin(b)
Substituindo i2 = -1 e agrupar as partes real e imaginária:
cos(a)cos(b) + i·cos(a)sen(b) + i·sin(a)cos(b) + i2·sin(a)sin(b) =
+ i
Mas lembre-se que tudo isto também é igual a:
ei(A+b) =
eia·bei =
cos(a+b) + i·sin (A + b)
então, as partes reais e imaginárias devem corresponder. Que é:
cos(a+b) = cos(a)cos(b) – sin(a)sin(b)
sin(a+b) = cos(a)sen(b) + sen(a)cos(b)
E voila, você não tem que memorizar uma coisa. Quando a = b, você tem o dobro do ângulo de fórmulas:
cos(2a) = cos(a)cos(a) – sin(a)sin(a) = cos2(a) – sin2(um)
pecado(2a) = cos(a)sen(a) + sen(a)cos(a) = 2·sin(a)cos(a)
Direito. Então, e quanto a sin2 (x) ou cos2 (x)?
Lembre-se de que:
sin2(x) + cos2(x) = 1
Mas a partir do ângulo duplo fórmulas acima:
cos(2x) = cos2(x) – sin2(x)
Se nós reorganizar ambos para maior clareza, de modo sin2 ou cos2 está sozinho no mesmo lado para ambas as expressões, e se nós, em seguida, adicionar as duas equações, obtemos:
sin2(x) = 1 – cos2(x)
+ sin2(x) = cos2(x) – cos(2x)2·sin2(x) = 1 – cos(2x) → sin2(x) = ½ ·
Você pode fazer a mesma coisa para cos2(x) para obter:
cos2(x) = 1 – sin2(x)
+ cos2(x) = cos(2x) + sin2(x)2·cos2(x) = 1 + cos(2x) → cos2(x) = ½ ·
E lá vai você. Estas são praticamente todas as identidades básicas que você precisa. Todos os outros podem ser facilmente deduzidos em termos dessas e das relações entre o pecado, cos e as outras funções trigonométricas.
no entanto, é preciso um pouco de prática para derivar tudo isso de forma rápida e sem esforço no local. Mas como você pode ver, as etapas são em geral bastante simples, você só precisa se acostumar com elas. Depois de aperfeiçoá-los e saber para onde ir, você pode retirar qualquer identidade trigonométrica que desejar sem memorização específica deles.Tudo o que você realmente memorizou foram as definições das funções trigonométricas, e você aplicou isso ao conhecimento do que o círculo unitário representa em termos de pecado e cos, bem como o novo conhecimento sobre a fórmula de Euler.
espero que isso ajude!