în primul rând, acestea sunt toate lucrurile de bază pe care trebuie să le cunoașteți despre funcțiile trigonometrice:
-
ce reprezintă sinusul și cosinusul unui unghi dat în cercul unității.
-
intelegerea geometrica de mai sus va da imediat identitatea fundamentala: sin2. Aceasta este doar teorema lui Pitagora aplicată sinusului și cosinusului și cercului unitar.
-
va trebui să memorați definițiile celorlalte funcții în termeni de sinus și cosinus: tan x = sin x / cos x, sec x = 1 / cos x etc. Cu toate acestea, nu este incredibil de util sau important să încercați să obțineți o senzație geometrică pentru acestea în ceea ce privește cercul unității.
acestea fiind spuse, vă recomand să începeți să vă gândiți la toate acestea în termeni de numere complexe și radiani. Acest lucru este ceva ce veți vedea doar mult mai târziu în calcul, dar este destul de simplu conceptual și suficient de puternic pentru a fi înțeles și folosit acum.
în acest moment, sunteți deja familiarizați cu regulile de bază ale numerelor complexe, ceea ce nu depășește cu mult faptul i2 = -1. Ca atare:
(a + bi)·(c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = (ac – bd) + (ad + bc) * I
care este de bază dejucarea înmulțirii.
probabil vă amintiți funcția exponențială și logaritmul natural, care implică un număr special numit e. acest număr devine foarte important mai târziu în calcul, așa că obișnuirea cu el chiar acum nu vă va face nici rău.
acum, există această formulă foarte minunată, cunoscută sub numele de Formula lui Euler (vezi articolul pentru a explica de unde provine, nu este prea greu de înțeles nici la acest nivel), care vă oferă următoarea relație incredibil de utilă:
EIX = cos (x) + i·sin (x)
practic, eix urmărește cercul unității în planul complex pentru x dat în radiani (radiani, acest lucru este important!)
folosind eix, puteți obține rapid toate identitățile trigonometrice. De exemplu, vrei să știi ce păcat(a+b) sau cos(a+b) este (sau a-b). Înlocuiți x =(A+b) în formula lui Euler și folosiți regulile cunoscute pentru exponențiale pentru a-l despărți:
eix =
ei (a+b) = ·
acum, zădărnicirea că produsul:
· =
cos (a) cos (b) + I * cos (a)sin (b) + i * sin(a)cos (b) + i2 * sin (a)sin (b)
înlocuirea i2 = -1 și gruparea părților reale și imaginare:
cos (a) cos (b) + I * cos (a)sin (b) + i * sin(a)cos (b) + i2 * sin (a)sin (b) =
+ i
dar amintiți-vă că toate acestea sunt, de asemenea, egale cu:
ei(a+b) =
EIM·eib =
cos ( a + b) + i·sin(A + b)
deci, părțile reale și imaginare trebuie să se potrivească. Aceasta este:
cos (a+b) = cos (a) cos (b) – sin (a)sin (b)
păcat (a+b) = cos (a)păcat (b) + păcat (a)cos (b)
și voila, nu trebuia să memorezi nimic. Când a = b, obțineți formulele cu unghi dublu:
cos (2a) = cos (a)cos (a) – păcat (a)păcat(a) = cos2 (a) – sin2 (a)
păcat ( 2a) = cos(a) păcat(a) + păcat (a)cos ( a) = 2 * păcat (a)cos (a)
corect. Deci, ce zici de sin2(x) sau cos2 (x)?
amintiți-vă că:
sin2 (x) + cos2 (x) = 1
dar din formulele cu unghi dublu de mai sus:
cos (2x) = cos2 (x) – sin2 (x)
dacă rearanjăm ambele pentru claritate, astfel încât sin2 sau cos2 sunt singuri pe aceeași parte pentru ambele expresii, iar dacă adăugăm apoi ambele ecuații, obținem:
sin2 ( x) = 1 – cos2(x)
+ sin2(x) = cos2(x) – cos(2x)2·sin2(x) = 1 – cos(2x·
puteți face același lucru pentru cos2 (x) pentru a obține:
cos2 ( x) = 1 – sin2(x)
+ cos2(x) = cos(2x) + sin2(x)2·cos2(x) = 1 + cos(2x) cos2(x)·
și acolo te duci. Acestea sunt aproape toate identitățile de bază de care veți avea nevoie. Toate celelalte pot fi deduse cu ușurință în ceea ce privește acestea și relațiile dintre păcat, cos și celelalte funcții trigonometrice.
cu toate acestea, este nevoie de un pic de practică pentru a obține rapid și fără efort toate acestea la fața locului. Dar, după cum puteți vedea, pașii sunt în general destul de simpli, trebuie doar să vă obișnuiți cu ei. Odată ce le-ați perfecționat și știți unde să mergeți, puteți scoate orice identitate trigonometrică pe care o doriți fără memorarea specifică a acestora.
tot ce ați memorat cu adevărat au fost definițiile funcțiilor trigonometrice și ați aplicat acest lucru la cunoașterea a ceea ce reprezintă cercul unitar în termeni de păcat și cos, precum și la noile cunoștințe despre Formula lui Euler.
sper că acest lucru vă ajută!