först och främst är det här alla grundläggande saker du behöver veta om trigonometriska funktioner:
-
vad sinus och cosinus för en given vinkel representerar i enhetscirkeln.
-
den geometriska förståelsen ovan ger dig omedelbart den grundläggande identiteten: sin2 megapixlar + cos2 megapixlar = 1. Detta är bara Pythagoras sats som tillämpas på sinus och cosinus och enhetscirkeln.
-
du måste memorera definitionerna av de andra funktionerna när det gäller sinus och cosinus: tan x = sin x / cos x, sec x = 1 / cos x, etc. Det är inte otroligt användbart eller viktigt att försöka få en geometrisk känsla för dessa när det gäller enhetscirkeln.
nu, med detta sagt, rekommenderar jag starkt att du börjar tänka på allt detta när det gäller komplexa tal och radianer. Det här är något du bara kommer att se mycket senare i kalkylen, men det är konceptuellt enkelt och tillräckligt kraftfullt för att förstås och användas nu.
vid denna tidpunkt är du redan bekant med de grundläggande reglerna för komplexa tal, vilket inte är mycket utöver det faktum I2 = -1. Som sådan:
(a+bi)·(c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = (ac – bd) + (ad + bc)·i
vilket är grundläggande foliering av multiplikationen.
du kommer förmodligen ihåg den exponentiella funktionen och den naturliga logaritmen också, vilket innebär ett speciellt nummer som heter e. detta nummer blir mycket viktigt senare i kalkylen, så att vänja sig vid det just nu kommer inte att skada dig heller.
nu finns det denna mycket fantastiska formel, känd som Eulers formel (se artikeln för förklaring av var den kommer ifrån, det är inte heller svårt att förstå på den här nivån), vilket ger dig följande otroligt användbara relation:
eix = cos (x) + i * sin (x)
i grund och botten spårar eix enhetscirkeln i det komplexa planet för x som ges i radianer (radianer, detta är viktigt!)
med eix kan du snabbt härleda alla trigonometriska identiteter. Till exempel vill du veta vad synd(A+b) eller cos(a+b) är (eller a-b). Ersätt x = (a + b) i Eulers formel och använd de kända reglerna för exponentialer för att bryta isär:
eix =
ei (a + b) = ·
nu Folierar den produkten:
· =
cos (a) cos (b) + i * cos (a) sin (b) + i * sin(a)cos (b) + I2 * sin (a) sin (b)
ersätta i2 = -1 och gruppera de verkliga och imaginära delarna:
cos (a) cos (b) + i * cos (a) sin (b) + i * sin(a)cos (b) + I2 * sin (a) sin (b) =
+ i
men kom ihåg att allt detta också är lika med:
ei (a + b) =
MKB * eib =
cos (a + b) + i * sin (a + b)
så, de verkliga och imaginära delarna måste matcha. Det är:
cos (a+b) = cos (a)cos (b) – sin (a) sin (b)
synd (a + b) = cos (a) synd (b) + synd(a) cos (b)
och voila, du behövde inte memorera en sak. När a = b får du dubbelvinkelformlerna:
cos (2a) = cos (a)cos (a) – sin(a) sin(a) = cos2 (a) – sin2 (a)
synd (2a) = cos (a) synd (a) + synd (a) cos(a) = 2·synd (a)cos (a)
just det. Så vad sägs om sin2(x) eller cos2 (x)?
kom ihåg att:
sin2 (x) + cos2 (x) = 1
men från de dubbla vinkelformlerna ovan:
cos (2x) = cos2 (x) – sin2 (x)
om vi omarrangerar båda dessa för tydlighet så är sin2 eller cos2 ensamma på samma sida för båda uttrycken, och om vi sedan lägger till båda ekvationerna får vi:
sin2 (x) = 1-cos2 (x)
+ sin2 ( x) = cos2 (x) – cos (2x)2·
du kan göra samma sak för cos2 (x) för att få:
cos2 (x) = 1-sin2 (x)
+ cos2 (x) = cos (2x) + sin2 (x)2 * cos2 (x) = 1 + cos(2x)·
och där går du. Det här är ganska mycket alla basidentiteter du behöver. Alla andra kan lätt härledas i termer av dessa och förhållandena mellan sin, cos och de andra trig-funktionerna.
det tar dock lite övning att snabbt och enkelt härleda alla dessa på plats. Men som du kan se är stegen totalt sett ganska enkla, du behöver bara vänja dig vid dem. När du får dessa fulländade och vet vart man ska gå, du kan dra ut någon trig identitet du önskar utan specifik memorering av dem.
allt du verkligen memorerade var definitionerna av trig-funktionerna, och du tillämpade detta på kunskapen om vad enhetscirkeln representerar i termer av synd och cos, liksom den nya kunskapen om Eulers formel.
jag hoppas att detta hjälper!