nejprve je to vše Základní, co potřebujete vědět o trigonometrických funkcích:
-
jaký sinus a kosinus daného úhlu představují v jednotkové kružnici.
-
geometrické porozumění výše vám okamžitě dává základní identitu: sin2 θ + cos2 θ = 1. Toto je jen Pythagorova věta aplikovaná na sinus a kosinus a jednotkovou kružnici.
-
budete si muset zapamatovat definice ostatních funkcí z hlediska sinus a kosinus: tan x = sin x / cos x, sec x = 1 / cos x atd. To není neuvěřitelně užitečné nebo důležité, aby se pokusili získat geometrický pocit pro ně, pokud jde o jednotkové kružnice, nicméně.
nyní, jak již bylo řečeno, vřele doporučuji začít přemýšlet o tom všem, pokud jde o komplexní čísla a radiány. To je něco, co uvidíte až mnohem později v počtu, ale je to koncepčně dost jednoduché a dostatečně silné, aby bylo možné je nyní pochopit a použít.
v tomto bodě jste již obeznámeni se základními pravidly komplexních čísel, což není moc nad skutečností i2 = -1. Jako takový:
(a + bi)·(c+di) = ac + adi + bci + bdi2 = (ac-bd) + (ad + bc) * i
což je základní zmaření násobení.
pravděpodobně si pamatujete exponenciální funkci a přirozený logaritmus, které zahrnují speciální číslo zvané e. toto číslo se stává velmi důležitým později v počtu, takže zvyknutí si na to právě teď vám také neublíží.
nyní existuje tento velmi úžasný vzorec, známý jako Eulerův vzorec (viz článek pro vysvětlení, odkud pochází, není příliš obtížné pochopit ani na této úrovni), což vám dává následující neuvěřitelně užitečný vztah:
eix = cos (x) + i * sin (x)
v podstatě Eix sleduje jednotkovou kružnici v komplexní rovině Pro x dané v radiánech (radiány, to je důležité!)
pomocí eix můžete rychle odvodit všechny trigonometrické identity. Například chcete vědět, co je hřích (a + b) nebo cos(a+b) (nebo a-b). Nahraďte x = (a+b) v eulerově vzorci a použijte známá pravidla pro exponenciály, abyste je rozdělili:
eix =
ei (a+b) =
eia·eib =
·
nyní, zmaření tohoto produktu:
· =
cos (a) cos (b) + i·cos (a) sin (b) + i * sin (a) cos (b) + i2 * sin (a) sin (b)
nahrazení i2 = -1 a seskupení reálných a imaginárních částí:
cos (a) cos (b) + i·cos (a) sin (b) + i * sin (a) cos (b) + i2 * sin (a) sin (b) =
+ i
ale pamatujte, že toto vše se také rovná:
ei (a+b) =
eia * eib =
cos (a + b) + i * sin(a + b)
takže skutečné a imaginární části se musí shodovat. To je:
cos (a+b) = cos(a)cos(b) – sin(a) sin (b)
hřích (a+b) = cos (a) hřích (b) + hřích (a) cos (b)
a voilo, nemusela sis nic pamatovat. Když a = b, dostanete vzorce s dvojitým úhlem:
cos (2a) = cos(a) cos (a) – sin (a) sin(a) = cos2 (a) – sin2 (a)
sin (2a) = cos (a) sin (a) + sin (a) cos (a) = 2 * sin (a) cos (a)
správně. A co sin2 (x) nebo cos2(x)?
nezapomeňte, že:
sin2 (x) + cos2 (x) = 1
ale z výše uvedených vzorců s dvojitým úhlem:
cos (2x) = cos2 (x) – sin2 (x)
pokud pro přehlednost uspořádáme obě tyto rovnice, sin2 nebo cos2 jsou samy na stejné straně pro oba výrazy, a pokud pak přidáme obě rovnice, dostaneme:
sin2 (x) = 1-cos2 (x)
+ sin2(x) = cos2(x) – cos(2x)2·sin2(x) = 1 – cos(2x) → sin2 (x) = ½ ·
pro cos2 (x) můžete udělat totéž:
cos2 (x) = 1-sin2 (x)
+ cos2 (x) = cos (2x) + sin2 (x)2 * cos2 (x) = 1 + cos(2x) → cos2(x) = ½ ·
a tady to máš. To jsou skoro všechny základní identity, které budete potřebovat. Všechny ostatní lze snadno odvodit z hlediska těchto a vztahů mezi hříchem, cos a ostatními trigonometrickými funkcemi.
nicméně, to trvá trochu praxe rychle a bez námahy odvodit všechny z nich na místě. Ale jak vidíte, kroky jsou celkově docela jednoduché, stačí si na ně zvyknout. Jakmile je získáte zdokonalené a víte, kam jít, můžete vytáhnout jakoukoli identitu, kterou si přejete, aniž byste si je zapamatovali.
vše, co jste si opravdu zapamatovali, byly definice funkcí trig, a použili jste to na znalost toho, co jednotkový kruh představuje z hlediska hříchu a cos, stejně jako nové znalosti o Eulerově vzorci.
doufám, že to pomůže!