Zunächst einmal ist dies alles, was Sie über trigonometrische Funktionen wissen müssen:
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Was Sinus und Cosinus eines gegebenen Winkels im Einheitskreis darstellen.
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Das obige geometrische Verständnis gibt Ihnen sofort die grundlegende Identität: sin2 θ + cos2 θ = 1. Dies ist nur der Satz des Pythagoras, der auf Sinus und Cosinus und den Einheitskreis angewendet wird.
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Sie müssen sich die Definitionen der anderen Funktionen in Bezug auf Sinus und Cosinus merken: tan x = sin x / cos x, sec x = 1 / cos x usw. Es ist jedoch nicht unglaublich nützlich oder wichtig, ein geometrisches Gefühl für diese in Bezug auf den Einheitskreis zu bekommen.
Nachdem dies gesagt wurde, empfehle ich Ihnen dringend, über all dies in Bezug auf komplexe Zahlen und Bogenmaß nachzudenken. Dies ist etwas, das Sie erst viel später in Calculus sehen werden, aber es ist konzeptionell einfach genug und leistungsfähig genug, um jetzt verstanden und verwendet zu werden.
An dieser Stelle sind Sie bereits mit den Grundregeln komplexer Zahlen vertraut, was nicht viel über die Tatsache hinausgeht, dass i2 = -1 . Als solche:
( a + bi) · (c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = (ac – bd) + (ad + bc) · i
Was die Multiplikation grundlegend vereitelt.
Sie erinnern sich wahrscheinlich auch an die Exponentialfunktion und den natürlichen Logarithmus, die eine spezielle Zahl namens e . Diese Zahl wird später in der Infinitesimalrechnung SEHR wichtig, daher wird es Ihnen auch nicht schaden, sich jetzt daran zu gewöhnen.
Nun gibt es diese sehr großartige Formel, die als Eulers Formel bekannt ist (siehe den Artikel zur Erklärung, woher sie kommt, sie ist auch auf dieser Ebene nicht allzu schwer zu verstehen), die Ihnen die folgende unglaublich nützliche Beziehung gibt:
eix = cos (x) + i*sin (x)
Grundsätzlich verfolgt eix den Einheitskreis in der komplexen Ebene für x im Bogenmaß (Bogenmaß, das ist wichtig!)
Mit eix können Sie schnell alle trigonometrischen Identitäten ableiten. Zum Beispiel möchten Sie wissen, was sin (a + b) oder cos (a + b) ist (oder a-b). Ersetzen Sie x = (a + b) in Eulers Formel und verwenden Sie die bekannten Regeln für Exponentiale, um sie auseinander zu brechen:
eix =
ei(a+b) =
eia·eib =
·
Nun, dieses Produkt vereiteln:
· =
cos(a) cos(b) + i·cos(a)sin(b) + i·sin(a) cos(b) + i2*sin(a)sin(b)
Ersetzen von i2 = -1 und Gruppieren der Real- und Imaginärteile:
cos(a) cos(b) + i·cos(a)sin(b) + i·sin(a) cos(b) + i2*sin(a)sin(b) =
+ i
Aber denken Sie daran, dass all dies auch gleich ist:
ei(a+b) =
eia·eib =
cos(a+b) + i·sin(a+b)
Also müssen die Real- und Imaginärteile übereinstimmen. Das ist:
cos (a + b) = cos (a) cos (b) – Sünde (a) Sünde (b)
sin(a+b) = cos(a)sin(b) + sin(a)cos(b)
Und voila, du musstest dir nichts merken. Wenn a = b , erhalten Sie die doppelten Winkelformeln:
cos(2a) = cos(a) cos(a) – sin(a)sin(a) = cos2(a) – sin2(a)
sin(2a) = cos(a)sin(a) + sin(a) cos(a) = 2*sin(a) cos(a)
Richtig. Was ist mit sin2(x) oder cos2(x)?
Denken Sie daran, dass:
sin2(x) + cos2(x) = 1
Aber aus den obigen Doppelwinkelformeln:
cos (2x) = cos2 (x) – sin2 (x)
Wenn wir beide aus Gründen der Klarheit neu anordnen, so dass sin2 oder cos2 für beide Ausdrücke allein auf derselben Seite sind, und wenn wir dann beide Gleichungen addieren, erhalten wir:
sin2(x) = 1 – cos2(x)
+ sin2(x) = cos2(x) – cos(2x)2·sin2(x) = 1 – cos(2x) → sin2(x) = ½·
Sie können dasselbe für cos2 (x) tun, um zu erhalten:
cos2(x) = 1 – sin2(x)
+ cos2(x) = cos(2x) + sin2(x)2·cos2(x) = 1 + cos(2x) → cos2(x) = ½·
Und los geht’s. Dies sind so ziemlich alle Basisidentitäten, die Sie benötigen. Alle anderen können leicht in Bezug auf diese und die Beziehungen zwischen sin, cos und den anderen Triggerfunktionen abgeleitet werden.
Es bedarf jedoch ein wenig Übung, um all dies schnell und mühelos vor Ort abzuleiten. Aber wie Sie sehen können, sind die Schritte insgesamt ziemlich einfach, Sie müssen sich nur daran gewöhnen. Sobald Sie diese perfektioniert haben und wissen, wohin Sie gehen müssen, können Sie jede gewünschte Triggeridentität herausziehen, ohne sie genau auswendig zu lernen.
Alles, was Sie wirklich auswendig gelernt haben, waren die Definitionen der Triggerfunktionen, und Sie haben dies auf das Wissen darüber angewendet, was der Einheitskreis in Bezug auf sin und cos darstellt, sowie auf das neue Wissen über Eulers Formel.
Ich hoffe das hilft!