En primer lugar, esto es todo lo básico que necesita saber sobre las funciones trigonométricas:
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Lo que el seno y el coseno de un ángulo dado representan en el círculo unitario.
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La comprensión geométrica anterior le da inmediatamente la identidad fundamental: sin2 θ + cos2 θ = 1. Esto es solo el teorema de pitágoras aplicado al seno y coseno y al círculo unitario.
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Tendrá que memorizar las definiciones de las otras funciones en términos de seno y coseno: tan x = sin x / cos x, sec x = 1 / cos x, etc. Sin embargo, no es increíblemente útil ni importante intentar obtener una sensación geométrica de estos en términos del círculo unitario.
Ahora, dicho esto, les recomiendo que empiecen a pensar en todo esto en términos de números complejos y radianes. Esto es algo que solo verás mucho más tarde en cálculo, pero es conceptualmente lo suficientemente simple, y lo suficientemente poderoso, para ser entendido y utilizado ahora.
En este punto, ya está familiarizado con las reglas básicas de los números complejos, que no es mucho más allá del hecho de i2 = -1. Como tal:
(a+bi)·(c+di) = ac + adi + bci + bdi2 = (ac – bd) + (ad + bc)·i
Que es la base de Frustrar la multiplicación.
Probablemente recuerde la función exponencial y el logaritmo natural también, que involucran un número especial llamado e. Este número se vuelve muy importante más adelante en el cálculo, por lo que acostumbrarse a él ahora mismo tampoco le hará daño.
Ahora, hay esta fórmula increíble, conocida como la Fórmula de Euler (consulte el artículo para obtener una explicación de dónde proviene, tampoco es demasiado difícil de entender a este nivel), que le brinda la siguiente relación increíblemente útil:
eix = cos (x) + i * sin ( x)
Básicamente, eix traza el círculo unitario en el plano complejo para x dado en radianes (¡radianes, esto es importante!)
Con eix, puede derivar rápidamente todas las identidades trigonométricas. Por ejemplo, quieres saber qué es pecado (a + b) o cos(a+b) (o a-b). Se sustituye x = (a+b) en la fórmula de Euler y el uso de las reglas conocidas para las exponenciales para romperlo:
eix =
ie(a+b) =
eia·bei =
·
Ahora, Frustrar ese producto:
· =
cos(a)cos(b) + i·cos(a)el pecado(b) + i·sin(a)cos(b) + i2·sin(a)sen(b)
Sustitución i2 = -1 y la agrupación de las partes real e imaginaria:
cos(a)cos(b) + i·cos(a)sin(b) + i·sin(a)cos(b) + i2·sin(a)sen(b) =
+ i
Pero recuerda que todo esto es también igual a la:
ei (a + b) =
eia * eib =
cos (a + b) + i * sin·a + b)
Por lo tanto, las partes reales e imaginarias deben coincidir. Que es:
cos(a+b) = cos(a)cos(b) – sin(a)sen(b)
el pecado(a+b) = cos(a)sin(b) + sin(a)cos(b)
Y voila, usted no tiene que memorizar una cosa. Cuando a = b, se obtiene el doble del ángulo de fórmulas:
cos(2a) = cos(a)cos(a) – sin(a)sin(a) = cos2(a) – sin2(un)
el pecado(2a) = cos(a)sin(a) + sin(a)cos(a) = 2·sin(a)cos(a)
a la Derecha. Entonces, ¿qué pasa con sin2(x) o cos2 (x)?
Recuerde que:
sin2(x) + cos2(x) = 1
Pero desde el doble ángulo de fórmulas de arriba:
cos(2x) = cos2(x) – sin2(x)
Si nos reorganizar tanto de estas para mayor claridad para sin2 o cos2 están solos en el mismo lado para ambas expresiones, y si a ello sumamos ambas ecuaciones obtenemos:
sin2(x) = 1 – cos2(x)
+ sin2(x) = cos2(x) – cos(2x)2·sin2(x) = 1 – cos(2x) → sin2(x) = ½ ·
Usted puede hacer la misma cosa para cos2(x) para obtener:
cos2(x) = 1 – sin2(x)
+ cos2(x) = cos(2x) + sin2(x)2·cos2(x) = 1 + cos(2x) → cos2(x) = ½ ·
Y hay que ir. Estas son casi todas las identidades base que necesitarás. Todas las demás se pueden deducir fácilmente en términos de éstas y de las relaciones entre el pecado, el OC y las otras funciones trigonométricas.
Sin embargo, se necesita un poco de práctica para derivar todo esto de forma rápida y sin esfuerzo en el lugar. Pero como puede ver, los pasos son en general bastante simples, solo necesita acostumbrarse a ellos. Una vez que los haya perfeccionado y sepa a dónde ir, puede extraer cualquier identidad trigonométrica que desee sin memorizarlos específicamente.
Todo lo que realmente memorizaste fueron las definiciones de las funciones trigonométricas, y aplicaste esto al conocimiento de lo que el círculo unitario representa en términos de pecado y oc, así como al nuevo conocimiento sobre la Fórmula de Euler.
espero que esto ayude!