Tout d’abord, ce sont toutes les choses de base que vous devez savoir sur les fonctions trigonométriques:
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Que représentent le sinus et le cosinus d’un angle donné dans le cercle unitaire.
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La compréhension géométrique ci-dessus vous donne immédiatement l’identité fondamentale: sin2 θ + cos2 θ = 1. Ce n’est que le théorème de Pythagore appliqué au sinus et au cosinus et au cercle unitaire.
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Vous devrez mémoriser les définitions des autres fonctions en termes de sinus et de cosinus: tan x = sin x / cos x, sec x = 1 / cos x, etc. Cependant, il n’est pas incroyablement utile ou important d’essayer d’obtenir une idée géométrique de ces éléments en termes de cercle unitaire.
Ceci étant dit, je vous recommande fortement de commencer à penser à tout cela en termes de nombres complexes et de radians. C’est quelque chose que vous ne verrez que beaucoup plus tard dans le calcul, mais il est conceptuellement assez simple, et assez puissant, pour être compris et utilisé maintenant.
À ce stade, vous connaissez déjà les règles de base des nombres complexes, ce qui n’est pas beaucoup au-delà du fait i2 =-1. En tant que tel:
( a + bi) *(c + di) = ac + adi + bci + bdi2 =(ac-bd) +(ad + bc) · i
Qui est basique Déjouant la multiplication.
Vous vous souvenez probablement de la fonction exponentielle et du logarithme naturel, qui impliquent un nombre spécial appelé e. Ce nombre devient TRÈS important plus tard dans le calcul, donc s’y habituer maintenant ne vous fera pas de mal non plus.
Maintenant, il y a cette formule très géniale, connue sous le nom de Formule d’Euler (voir l’article pour expliquer d’où elle vient, ce n’est pas trop difficile à comprendre à ce niveau non plus), qui vous donne la relation incroyablement utile suivante:
eix = cos(x) + i * sin(x)
En gros, eix trace le cercle unitaire dans le plan complexe pour x donné en radians (radians, c’est important !)
En utilisant eix, vous pouvez dériver rapidement toutes les identités trigonométriques. Par exemple, vous voulez savoir ce qu’est le péché (a + b) ou le cos (a + b) (ou a-b). Remplacez x =(a + b) dans la formule d’Euler et utilisez les règles connues pour les exponentielles pour le séparer:
eix =
ei(a+b) =
eie * eib =
·
Maintenant, DÉJOuer ce produit:
· =
cos (a) cos(b) + i * cos(a) péché (b) + i * péché (a) cos(b) + i2 * péché (a) péché (b)
Remplacer i2 =-1 et regrouper les parties réelles et imaginaires:
cos (a) cos(b) + i * cos(a) péché (b) + i * péché (a) cos(b) + i2 * péché (a) péché (b) =
+ i
Mais rappelez-vous que tout cela est également égal à:
ei(a+b) =
eia ·eib =
cos(a+b) + i * sin(a+b)
Ainsi, les parties réelles et imaginaires doivent correspondre. C’est-à-dire:
cos(a +b) = cos(a) cos(b) – péché (a) péché(b)
sin(a + b) = cos(a) sin(b) + sin(a) cos(b)
Et voilà, tu n’avais rien à mémoriser. Lorsque a = b, vous obtenez les formules à double angle:
cos(2a) = cos(a) cos(a) – péché(a) péché(a) = cos2(a) – péché(a)
sin(2a) = cos(a) sin(a) + sin(a) cos(a) = 2 * sin(a) cos(a)
C’est ça. Alors, qu’en est-il de sin2(x) ou cos2(x)?
Rappelez-vous que:
sin2(x) + cos2(x) = 1
Mais à partir des formules à double angle ci-dessus:
cos(2x) = cos2(x) – sin2(x)
Si nous réorganisons les deux pour plus de clarté, sin2 ou cos2 sont seuls du même côté pour les deux expressions, et si nous ajoutons ensuite les deux équations, nous obtenons:
sin2(x) = 1-cos2(x)
+ sin2(x) = cos2(x) – cos(2x)2 · sin2(x) = 1-cos(2x) → sin2(x) = ½·
Vous pouvez faire la même chose pour que cos2(x) obtienne:
cos2(x) = 1-sin2(x)
+ cos2(x) = cos(2x) + sin2(x)2 · cos2(x) = 1 + cos(2x) → cos2(x) = ½·
Et voilà. Ce sont à peu près toutes les identités de base dont vous aurez besoin. Toutes les autres peuvent être facilement déduites en termes de celles-ci et des relations entre sin, cos et les autres fonctions trigonométriques.
Cependant, il faut un peu de pratique pour dériver rapidement et sans effort tous ces éléments sur place. Mais comme vous pouvez le voir, les étapes sont globalement assez simples, il vous suffit de vous y habituer. Une fois que vous les avez perfectionnés et que vous savez où aller, vous pouvez extraire n’importe quelle identité trigonométrique que vous désirez sans les mémoriser spécifiquement.
Tout ce que vous avez vraiment mémorisé étaient les définitions des fonctions trigonométriques, et vous l’avez appliqué à la connaissance de ce que représente le cercle unitaire en termes de sin et de cos, ainsi qu’aux nouvelles connaissances sur la Formule d’Euler.
J’espère que cela aidera!