Prima di tutto, questa è tutta la roba di base che devi sapere sulle funzioni trigonometriche:
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Quale seno e coseno di un dato angolo rappresentano nel cerchio unitario.
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La comprensione geometrica di cui sopra ti dà immediatamente l’identità fondamentale: sin2 θ + cos2 θ = 1. Questo è solo il teorema di Pitagora applicato al seno e al coseno e al cerchio unitario.
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Dovrai memorizzare le definizioni delle altre funzioni in termini di seno e coseno: tan x = sin x / cos x, sec x = 1 / cos x,ecc. Non è incredibilmente utile o importante tentare di ottenere una sensazione geometrica per questi in termini di cerchio unitario, tuttavia.
Ora, detto questo, consiglio vivamente di iniziare a pensare a tutto questo in termini di numeri complessi e radianti. Questo è qualcosa che vedrai solo molto più tardi nel calcolo, ma è concettualmente abbastanza semplice, e abbastanza potente, da essere capito e usato ora.
A questo punto, hai già familiarità con le regole di base dei numeri complessi, che non è molto al di là del fatto i2 = -1. Come tale:
(a + bi·*(c+di) = ac + adi + bci + bdi2 = (ac – bd) + (ad + bc)·i
Che è di base sventare la moltiplicazione.
Probabilmente ricordi anche la funzione esponenziale e il logaritmo naturale, che coinvolgono un numero speciale chiamato e. Questo numero diventa MOLTO importante in seguito nel calcolo, quindi abituarsi ad esso in questo momento non ti farà male neanche.
Ora, c’è questo molto impressionante formula, nota come Formula di Eulero (vedere l’articolo per la spiegazione di dove viene, non è troppo difficile da capire, a questo livello), che dà il seguente incredibilmente utile relazione:
eix = cos(x) + i·sin(x)
Fondamentalmente, eix traccia il cerchio unitario nel piano complesso per x dato in radianti (radianti, questo è importante!)
Utilizzando eix, è possibile derivare rapidamente tutte le identità trigonometriche. Ad esempio, vuoi sapere cos’è sin(a+b) o cos(a+b) (o a-b). Sostituire x = (a+b) nella formula di Eulero e di utilizzare il noto regole per esponenziali a separarle:
eix =
ei(a+b) =
eia·bei =
·
Ora, a Sventare il prodotto:
· =
cos(a)cos(b) + i·cos(a)peccato(b) + i·sin(a)cos(b) + i2·sin(a)sin(b)
Sostituzione i2 = -1 e il raggruppamento, le parti reale e immaginaria:
cos(a)cos(b) + i·cos(a)sin(b) + i·sin(a)cos(b) + i2·sin(a)sin(b) =
+ i
Ma ricordatevi che tutto questo è anche uguale a:
ei(a+b) =
via·bei =
cos(a+b) + i·sin(a + b)
Quindi, le parti reali e immaginarie devono corrispondere. Cioè:
cos (a + b) = cos (a) cos (b) – sin(a) sin (b)
sin (a + b) = cos (a) sin (b) + sin(a) cos (b)
E voilà, non dovevi memorizzare nulla. Quando a = b, si ottiene il doppio angolo di formule:
cos(2a) = cos(a)cos(a) – sin(a)sin(a) = cos2(a) – sin2(un)
sin(2a) = cos(a)sin(a) + sin(a)cos(a) = 2·sin(a)cos(a)
Destra. Quindi, che dire di sin2 (x) o cos2 (x)?
Ricordate che:
sin2(x) + cos2(x) = 1
Ma dal doppio angolo di formule sopra:
cos(2x) = cos2(x) – sin2(x)
Se vogliamo riorganizzare sia per la chiarezza in modo sin2 o cos2 sono solo sullo stesso lato in entrambe le espressioni, e se poi aggiungiamo entrambe le equazioni, si ottiene:
sin2(x) = 1 – cos2(x)
+ sin2(x) = cos2(x) – cos(2x)2·sin2(x) = 1 – cos(2x) → sin2(x) = ½ ·
Si può fare la stessa cosa per cos2(x) per ottenere:
cos2(x) = 1 – sin2 (x)
+ cos2 (x) = cos(2x) + sin2(x)2·cos2(x) = 1 + cos (2x) → cos2 ( x) = ½ ·
Ed ecco qua. Queste sono praticamente tutte le identità di base di cui avrai bisogno. Tutti gli altri possono essere facilmente dedotti in termini di questi e le relazioni tra sin, cos e le altre funzioni trigonometriche.
Tuttavia, ci vuole un po ‘ di pratica per ricavare rapidamente e senza sforzo tutti questi sul posto. Ma come puoi vedere, i passaggi sono nel complesso piuttosto semplici, devi solo abituarti a loro. Una volta che si ottiene questi perfezionato e sapere dove andare, si può tirare fuori qualsiasi identità trigonometrica che si desidera senza memorizzazione specifica di loro.
Tutto quello che hai veramente memorizzato erano le definizioni delle funzioni trigonometriche, e lo hai applicato alla conoscenza di ciò che il cerchio unitario rappresenta in termini di sin e cos, così come le nuove conoscenze sulla Formula di Eulero.
Spero che questo aiuti!