Octagon

Vanlig åttekant

Type

Regulær polygon

Kanter og hjørner

Schlä symbol

{8}, t{4}

coxeter-Dynkin diagrammer

Symmetri gruppe

Dihedral (D8), rekkefølge 2×8

Intern vinkel (grader)

135°

Egenskaper

Konveks, syklisk, liksidig, isogonal, isotoksal

i geometri er en åttekant (fra den greske ὀκτάγωνον oktáō, «åtte vinkler») en åttesidig polygon eller 8-gon.

en regulær åttekant har Schlä symbol {8} og kan også konstrueres som en kvasiregulær avkortet firkant, t{4}, som veksler mellom to typer kanter. En avkortet åttekant, t{8} er en heksadekagon, {16}. En 3d-analog av ottekanten kan være rhombicuboctahedron med trekantede ansikter på den som de erstattede kantene, hvis man anser ottekant å være en avkortet firkant.

Egenskaper for den generelle octagon

summen av alle indre vinkler av en octagon er 1080°. Som med alle polygoner, er de ytre vinklene totalt 360°.

hvis kvadrater er konstruert alle internt eller alle eksternt på sidene av en ottekant, da midtpunktene av segmentene som forbinder sentrene av motsatte firkanter danne en firkant som er både equidiagonal og orthodiagonal (det vil si, hvis diagonaler er like i lengde og i rett vinkel til hverandre).: Støtte. 9

midtpunktets åttekant har sine åtte hjørner ved midtpunktene på sidene av referanseektagonet. Hvis kvadrater er konstruert alle internt eller alle eksternt på sidene av midtpunktets ottekant, danner midtpunktene til segmentene som forbinder sentrene til motsatte kvadrater seg selv toppene i en firkant.: Støtte. 10

Regular octagon

en regular octagon er en lukket figur med sider av samme lengde og indre vinkler av samme størrelse. Den har åtte linjer med reflekterende symmetri og rotasjonssymmetri av orden 8. En vanlig åttekant er representert Med Schlä symbolet {8}.Den indre vinkelen ved hvert toppunkt på en regulær åttekant er 135° (3 π 4 {\displaystyle \ scriptstyle {\frac {3 \ pi }{4}}} radianer). Den sentrale vinkelen er 45° (π 4 {\displaystyle \ scriptstyle {\frac {\pi }{4}}} radianer).

Område

arealet av en regulær åttekant med sidelengde a er gitt av

a = 2 barneseng ⁡ π 8 a 2 = 2 ( 1 + 2) a 2 ≃ 4.828 a 2 . {\displaystyle a = 2 \ cot {\frac {\pi }{8}}a^{2}=2(1+{\sqrt {2}}) a^{2} \ simeq 4,828\, a^{2}.}

når det gjelder circumradius R, er området

A = 4 sin ⁡ π 4 r 2 = 2 2 R 2 ≃ 2.828 R 2 . {\displaystyle a = 4 \ sin {\frac {\pi }{4}}r^{2} = 2{\sqrt {2}} r^{2}\simeq 2,828\, r^{2}.}

når det gjelder apothem r (se også innskrevet figur), er området

a = 8 tan ⁡ π 8 r 2 = 8 ( 2 − 1 ) r 2 ≃ 3.314 r 2 . {\displaystyle a = 8 \ tan {\frac {\pi }{8}}r^{2} = 8 ({\sqrt {2}}-1) r^{2}\simeq 3,314\,r^{2}.}

disse to siste koeffisientene braketter verdien av pi, arealet av enhetssirkelen.

området kan også uttrykkes som

A = S 2-a 2, {\displaystyle \,\!A=s^{2} – a^{2},}

Hvor S er spennet til ottekanten, eller den nest korteste diagonalen; og a er lengden på en av sidene eller basene. Dette er lett bevist hvis man tar en ottekant, tegner en firkant rundt utsiden (sørg for at fire av de åtte sidene overlapper med de fire sidene av torget) og deretter tar hjørnetrianglene (disse er 45-45-90 trekanter) og plasserer dem med rette vinkler pekte innover, danner en firkant. Kantene på denne firkanten er hver lengden på basen.

Gitt lengden på en side a er spennet s

S = a 2 + a + a 2 = (1 + 2 )en ≈ 2.414 a. {\displaystyle S={\frac {a} {\sqrt {2}}}+a + {\frac {a} {\sqrt {2}}}=(1+{\sqrt {2}}) a\ca 2,414 a.}

spennet er da lik sølvforholdet ganger siden, a.

området er da som ovenfor:

a = ( ( 1 + 2 ) a ) 2 − a 2 = 2 ( 1 + 2 ) en 2 ≈ 4.828 a 2 . {\displaystyle a=((1 + {\sqrt {2}}) a)^{2}-a^{2}=2(1+{\sqrt {2}}) a^{2} \ ca 4,828 a^{2}.}

Uttrykt i form av span, er området

A = 2 (2 − 1 ) S 2 ≈ 0.828 s 2 . {\displaystyle a = 2({\sqrt {2}}-1) s^{2}\ca 0,828 s^{2}.}

En annen enkel formel for området er

a = 2 a S . {\displaystyle \ a = 2aS.}

oftere er spenningen S kjent, og lengden på sidene, a, skal bestemmes, som ved kutting av et firkantet stykke materiale i en vanlig ottekant. Fra ovenstående,

en ≈ S / 2.414. {\displaystyle a \ ca S / 2,414.}

de to endelengdene e på hver side (benlengdene til trekantene (grønn på bildet) avkortet fra kvadratet), så vel som e = a / 2, {\displaystyle e=a/{\sqrt {2}},} kan beregnes som

e = ( s − a ) / 2. {\displaystyle\,\!e=(S-a) / 2.}

Circumradius og inradius

circumradius av den vanlige ottekant i form av sidelengden a er

r = (4 + 2 2 2 ) a, {\displaystyle R=\venstre({\frac {\sqrt {4 + 2 {\sqrt {2}}}}{2}}\høyre) a,}

og inradius er

r = (1 + 2 2 ) a . {\displaystyle r= \ venstre ({\frac {1 + {\sqrt {2}}}{2}}\høyre) a.}

(det vil si halvparten av sølvforholdet ganger siden, a eller halvparten av spenningen, S)

Diagonaler

den vanlige åttekant, i form av sidelengden a, har tre forskjellige typer diagonaler:

• Kort diagonal;
• Middels diagonal (også kalt span eller høyde), som er to ganger lengden av inradius;
• Lang diagonal, som er to ganger lengden av circumradius.

formelen for hver av dem følger av de grunnleggende prinsippene for geometri. Her er formlene for deres lengde:

• kort diagonal: a 2 + 2 {\displaystyle a {\sqrt {2 + {\sqrt {2}}}}} ;
• middels diagonal: ( 1 + 2 ) a {\displaystyle (1+{\sqrt {2}})a} ; (sølvforhold ganger a)
• lang diagonal: a 4 + 2 2 {\displaystyle a {\sqrt {4 + 2{\sqrt {2}}}}} .

Konstruksjon og elementære egenskaper

en vanlig octagon på en gitt circumcircle kan være konstruert som følger:

1. Tegn en sirkel OG en diameter AOE, Hvor O er sentrum Og A, E er punkter på circumcircle.
2. Tegn en annen diameter GOC, vinkelrett PÅ AOE.
3. (Merk i forbifarten at A, C, E, G er hjørner av en firkant).
4. Tegn bisektorene I DE rette vinklene GOA OG EOG, noe SOM gjør to diametre HOD OG FOB.
5. a,B,C,D,E,F,G, H er åttekantens hjørner.

en vanlig ottekant kan konstrueres ved hjelp av en straightedge og et kompass, som 8 = 23, en kraft på to:

den vanlige octagon kan bygges med meccano barer. Tolv barer i størrelse 4, tre barer i størrelse 5 og to barer i størrelse 6 er påkrevd.

Hver side av en vanlig åttekant subtends halv rett vinkel i sentrum av sirkelen som forbinder sine hjørner. Området kan dermed beregnes som summen av 8 isosceles triangler, som fører til resultatet:

Område = 2 a 2 (2 + 1) {\displaystyle {\text{Område}} = 2a^{2} ({\sqrt {2}}+1)}

for en åttekant på side a.

Standardkoordinater

koordinatene for hjørnene til en regulær åttekant sentrert ved opprinnelsen og med sidelengde 2 er:

• (±1, ±(1+√2))
• (±(1+√2), ±1).

Disseksjon

8-kube projeksjon	24 rombe disseksjon
	Vanlig	Isotoksal

Coxeter sier at hver zonogon (en 2m-gon hvis motsatte sider er parallelle og like lange) kan dissekeres i m (m-1) / 2 parallelograms.In spesielt gjelder dette for vanlige polygoner med jevnt mange sider, i så fall er parallellogrammene alle rhombi. For den vanlige ottekant, m = 4, og det kan deles inn i 6 romber, med ett eksempel vist nedenfor. Denne dekomponeringen kan ses som 6 av 24 ansikter i Et Petrie-polygonprojeksjonsplan av tesseracten. Listen (sekvens A006245 I OEIS) definerer antall løsninger som 8, ved 8-orienteringene til denne disseksjonen. Disse rutene og romber brukes I Ammann-Beenker tilings.

Vanlig åttekant dissekert

Tesseract

4 romber og 2 kvadrater

Skew octagon

en skrå åttekant er en skrå polygon med 8 hjørner og kanter, men ikke eksisterende på samme plan. Interiøret i en slik ottekant er ikke generelt definert. En skrå sikk-sakk åttekant har hjørner som veksler mellom to parallelle plan.

en vanlig skrå åttekant er vertex-transitiv med like kantlengder. I 3-dimensjoner vil det være en zig-zag skew octagon og kan ses i hjørner og sidekanter av en firkantet antiprism med samme D4d, symmetri, rekkefølge 16.

Petrie polygoner

den regulære skrå åttekant er Petrie polygon for disse høyere dimensjonale regulære og ensartede polytoper, vist i disse skrå ortogonale projeksjoner av I A7, B4, Og D5 Coxeter fly.

A7	D5	B4
7-simplex	5-demicube	16-cellers	Tesseract

Åttekantens Symmetri

Symmetri

de 11 symmetrier av en vanlig ottekant. Linjer med refleksjoner er blå gjennom hjørner, lilla gjennom kanter, og gyrasjonsordrer er gitt i midten. Vertices er farget av deres symmetriposisjon.

den vanlige octagon har Dih8 symmetri, rekkefølge 16. Det er 3 dihedrale undergrupper: Dih4, Dih2 og Dih1, og 4 sykliske undergrupper: Z8, Z4, Z2 Og Z1, den siste antyder ingen symmetri.

eksempel oktagoner etter symmetri

r16
d8	g8	p8
d4	g4	p4
d2	g2	p2
a1

på den vanlige octagon er det 11 forskjellige symmetrier. John Conway markerer full symmetri som r16. De diedrale symmetrier er delt avhengig av om de passerer gjennom hjørner (d for diagonal) eller kanter (p for perpendikulære) Sykliske symmetrier i midtkolonnen er merket som g for deres sentrale gyrasjonsordrer. Full symmetri av den vanlige formen er r16 og ingen symmetri er merket a1.

de vanligste åttekantene med høy symmetri er p8, en isogonal åttekant konstruert av fire speil kan veksle mellom lange og korte kanter, og d8, en isotoksal åttekant konstruert med like kantlengder, men hjørner veksler mellom to forskjellige indre vinkler. Disse to formene er dualer av hverandre og har halv symmetri rekkefølge av den vanlige ottekant.

hver undergruppesymmetri tillater en eller flere frihetsgrader for uregelmessige former. Bare g8-undergruppen har ingen frihetsgrader, men kan ses som rettede kanter.

Bruk av octagons

den åttekantede formen brukes som et designelement i arkitekturen. Klippens Kuppel har en karakteristisk åttekantet plan. Vindtårnet I Athen er et annet eksempel på en åttekantet struktur. Den åttekantede planen har også vært i kirkearkitektur som St. George ‘ S Cathedral, Addis Abeba, Basilica Of San Vitale (I Ravenna, Italia), Castel Del Monte (Apulia, Italia), Florence Baptistery, Zum Friedefürsten Kirke (Tyskland) og en rekke åttekantede kirker i Norge. Det sentrale rommet I Aachen-Katedralen, Det Karolingiske Palatine-Kapellet, har en vanlig åttekantet gulvplan. Bruk av åttekanter i kirker inkluderer også mindre designelementer, som Den åttekantede apsis Av Nidarosdomen.

Arkitekter Som John Andrews har brukt åttekantede gulvoppsett i bygninger for funksjonelt å skille kontorområder fra bygningstjenester, spesielt Intelsats Hovedkvarter I Washington DC, Callam-Kontorer I Canberra og Octagon-Kontorer I Parramatta, Australia.

Andre bruksområder

• 

  Paraplyer har ofte en åttekantet oversikt.

• 

  Den berømte Bukhara teppe design inkorporerer en åttekantet» elephant foot » motiv.

• 

  gaten & blokkoppsettet I Barcelonas Eixample-distrikt er basert på ikke-vanlige oktagoner

• 

  Janggi bruker åttekantede stykker.

• 

  Japanske lotteri maskiner har ofte åttekantet form.

• 

  Stoppskilt som brukes i engelsktalende land, så vel Som i De Fleste Europeiske land

• 

  et ikon av et stoppskilt med en hånd i midten.

• 

  trigrams Av Taoist bagua er ofte arrangert octagonally

• 

  Berømt åttekantet gullkopp fra Belitung shipwreck

• 

  Klasser På Shimer College er tradisjonelt holdt rundt åttekantede bord

• 

  Labyrinten Til Reims Katedral med en kvasi-åttekantet form.

• 

  bevegelsen av den analoge spaken(e) Til Nintendo 64-kontrolleren, GameCube-kontrolleren, Wii Nunchuk og Classic-Kontrolleren er begrenset av et rotert åttekantet område, slik at pinnen kan bevege seg i bare åtte forskjellige retninger.

Avledede tall

• 

  den avkortede firkantede fliser har 2 åttekanter rundt hvert toppunkt.
  

• 

  et åttekantet prisme inneholder to åttekantede ansikter.
  

• 

  en åttekantet antiprisme inneholder to åttekantede ansikter.
  

• 

  den avkortede cuboctahedronen inneholder 6 åttekantede ansikter.
  

relaterte polytoper

oktagonen, som en avkortet firkant, er først i en sekvens av avkortede hyperkubber:

Avkortede hypercubes

Bilde								…
Navn	Octagon	Avkortet kube	Avkortet tesseract	Avkortet 5-kube	Avkortet 6-kube	Avkortet 7-kube	Avkortet 8-kube
Coxeter diagram
Toppunkt figur	() v( )	() v{ }	() v{3}	() v{3,3}	( )v{3,3,3}	( )v{3,3,3,3}	( )v{3,3,3,3,3}

som et utvidet torg er det også først i en sekvens av utvidede hypercubes:

Utvidede hypercubes

							…
Octagon	Rhombicuboctahedron	Runcinert tesseract	Stericated 5-cube	Pentellated 6-cube	Heptellated 8-cube

Se også

• Støtfangerbasseng
• Åttekanthus
• Åttekantnummer
• Oktagram
• Oktaeder, 3d-form med åtte ansikter.
• Oktogon, et stort veikryss I Budapest, Ungarn
• Rub el Hizb (også kjent Som Al Quds-Stjerne Og Som Okta-Stjerne)
• glattet åttekant

Slå opp octagon i Wiktionary, den frie ordboken.

• Octagon Kalkulator
• Definisjon og egenskaper for en octagon med interaktiv animasjon