Allereerst is dit alles wat je moet weten over trigonometrische functies:
-
welke sinus en cosinus van een gegeven hoek vertegenwoordigen in de eenheidscirkel.
-
het geometrische begrip hierboven geeft je meteen de fundamentele identiteit: sin2 θ + cos2 θ = 1. Dit is slechts de stelling van Pythagoras toegepast op sinus en cosinus en de eenheidscirkel.
-
u zult de definities van de andere functies in termen van sinus en cosinus moeten onthouden: tan x = sin x / cos x, sec x = 1 / cos x, enz. Het is niet ongelooflijk nuttig of belangrijk om te proberen om een geometrisch gevoel voor deze in termen van de eenheid cirkel te krijgen, echter.
nu, dit gezegd zijnde, raad ik je ten zeerste aan om dit alles te bekijken in termen van complexe getallen en radialen. Dit is iets wat je pas veel later in de calculus zult zien, maar het is conceptueel eenvoudig genoeg, en krachtig genoeg, om nu begrepen en gebruikt te worden.
op dit moment bent u al bekend met de basisregels van complexe getallen, wat niet veel verder gaat dan het feit dat i2 = -1. Als zodanig:
(a + bi)·(c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = (ac – bd) + (ad + bc)·I
wat een basis is om de vermenigvuldiging tegen te gaan.
u herinnert zich waarschijnlijk ook de exponentiële functie en de natuurlijke logaritme, die een speciaal getal met de naam e omvatten. dit getal wordt later erg belangrijk in de calculus, dus u kunt er nu ook niet aan wennen.
nu, er is deze zeer ontzagwekkende formule, bekend als Euler ‘ s Formule (zie het artikel voor uitleg van waar het vandaan komt, het is ook niet moeilijk te begrijpen op dit niveau), die je de volgende ongelooflijk nuttige relatie geeft:
eix = cos (x) + i * sin (x)
in principe volgt eix de eenheidscirkel in het complexe vlak voor X gegeven in radialen (radialen, dit is belangrijk!)
met eix kunt u snel alle trigonometrische identiteiten afleiden. Je wilt bijvoorbeeld weten wat zonde (a + b) of cos(a+b) is (of a-b). Vervang x = (a+b) in Euler ‘ s formule en gebruik maken van de bekende regels voor exponentiële te breken uit elkaar:
eix =
ei(a+b) =
m.e.r. – ·eib =
·
Nu, FOILing dat product:
· =
cos(a)cos(b) + i·cos(a)sin(b) + i·sin(a)cos(b) + i2·sin(a)sin(b)
het Vervangen van i2 = -1 en de groepering van de reële en imaginaire delen:
cos(a)cos(b) + i·cos(a)sin(b) + i·sin(a)cos(b) + i2·sin(a)sin(b) =
+ i
Maar vergeet niet dat dit alles is ook gelijk aan:
ei (a + b) =
MEB * eib =
cos (a+b) + i * sin(a+b))
dus de echte en denkbeeldige delen moeten overeenkomen. Dat is:
cos(a+b) = cos(a)cos(b) – sin(a)sin (b))
sin(a+b) = cos(a)sin(b) + sin(a)cos (b))
en voila, je hoefde niets te onthouden. Wanneer a = b, krijgt u de formules met dubbele hoeken:
cos (2a) = cos (a) cos (a) – sin(a) sin ( a) = cos2(a) – sin2 (a))
sin (2a) = cos (a) sin (a) + sin (a) cos (a· = 2 * sin (a) cos (a)
juist. Dus, hoe zit het met sin2(x) of cos2 (x)?
Vergeet niet dat:
sin2(x) + cos2(x) = 1
Maar van de dubbele hoek formules boven:
cos(2x) = cos2(x) – sin2(x)
Als we herschikken beide voor duidelijkheid, zodat sin2 of cos2 zijn alleen op dezelfde zijde van beide expressies, en als we dan beide vergelijkingen krijgen we:
sin2(x) = 1 – cos2(x)
+ sin2(x) = cos2(x) – cos(2x)2·sin2(x) = 1 – cos(2x) → sin2(x) = ½ ·
U kunt hetzelfde doen voor cos2(x) te krijgen:
cos2(x) = 1 – sin2(x)
+ cos2(x) = cos(2x) + sin2(x)2·cos2(x) = 1 + cos(2x) → cos2 (x) = ½ ·
en daar ga je. Dit zijn zowat alle basis identiteiten die je nodig hebt. Alle andere kunnen gemakkelijk worden afgeleid in termen van deze en de relaties tussen zonde, cos en de andere trig functies.
echter, het vergt een beetje oefening om snel en moeiteloos al deze dingen ter plaatse af te leiden. Maar zoals je kunt zien, de stappen zijn over het algemeen vrij eenvoudig, je hoeft alleen maar om te wennen aan hen. Zodra je deze geperfectioneerd hebt en weet waar je heen moet, kun je elke trig-identiteit die je wenst eruit halen zonder ze specifiek uit je hoofd te leren.
alles wat je echt uit je hoofd hebt geleerd waren de definities van de trig functies, en je hebt dit toegepast op de kennis van wat de eenheidscirkel vertegenwoordigt in termen van sin en cos, evenals de nieuwe kennis over de formule van Euler.
ik hoop dat dit helpt!