po pierwsze, to wszystko, co musisz wiedzieć o funkcjach trygonometrycznych:
-
co oznaczają sinus i cosinus danego kąta w okręgu jednostkowym.
-
powyższe geometryczne zrozumienie natychmiast daje podstawową tożsamość: sin2 θ + cos2 θ = 1. To jest tylko twierdzenie Pitagorasa zastosowane do sinusa i cosinusa oraz okręgu jednostkowego.
-
będziesz musiał zapamiętać definicje innych funkcji w kategoriach sinus i cosinus: tan x = sin x / cos x, sec x = 1 / cos x, itd. Nie jest jednak niezwykle przydatne ani ważne, aby próbować uzyskać geometryczne wyczucie dla nich w kategoriach okręgu jednostkowego.
teraz, mając to na uwadze, polecam zacząć myśleć o tym wszystkim w kategoriach liczb zespolonych i radianów. To jest coś, co zobaczycie znacznie później w rachunku różniczkowym, ale jest to na tyle proste koncepcyjnie i wystarczająco potężne, że można je teraz zrozumieć i wykorzystać.
w tym momencie znasz już podstawowe zasady liczb zespolonych, co niewiele wykracza poza i2 = -1. Jako takie:
(a + bi)·(c+di) = ac + adi + bci + bdi2 = (ac – bd) + (ad + bc)·i
, co jest podstawową funkcją mnożenia.
prawdopodobnie pamiętasz funkcję wykładniczą i logarytm naturalny, które obejmują specjalną liczbę zwaną e. ta liczba staje się bardzo ważna później w rachunku różniczkowym, więc przyzwyczajenie się do niej teraz również nie zaszkodzi.
teraz jest ta bardzo niesamowita formuła, znana jako formuła Eulera (zobacz artykuł, aby wyjaśnić, skąd pochodzi, nie jest to zbyt trudne do zrozumienia na tym poziomie), która daje następującą niezwykle przydatną relację:
eix = cos(x) + i·sin (x)
zasadniczo, eix śledzi okrąg jednostkowy w płaszczyźnie zespolonej dla X podanego w radianach (radiany, to jest ważne!)
używając eix, możesz szybko wyprowadzić wszystkie tożsamości trygonometryczne. Na przykład, chcesz wiedzieć, czym jest grzech(a+b) lub cos(A+b) (lub A-b). Zastąp x = (A+b) we wzorze Eulera i użyj znanych reguł dla wykładników, aby je rozdzielić:
eix =
ei(a+b) =
EIA·eib =
·
teraz foliowanie tego produktu:
· =
cos(A)cos(b) + i·cos(a)sin(b) + i·sin(a)cos(B) + i2 * sin (a) sin (b)
Zamiana i2 = -1 i grupowanie części rzeczywistych i urojonych:
cos(A)cos(b) + i·cos(a)sin(b) + i·sin(a)cos(B) + i2 * sin (a) sin (b) =
+ i
ale pamiętaj, że to wszystko jest również równe:
ei (a + b) =
EIA·eib =
cos(A+b) + i·sin (A + b)
tak więc części rzeczywiste i wyobrażone muszą się zgadzać. To jest:
cos (a+b) = cos(A)cos(B) – sin(a)sin (b)
sin (a+b) = cos (a) sin (b) + sin (a) cos (b)
i voila, nie musiałeś niczego zapamiętywać. Gdy a = b, otrzymujemy wzory kątów podwójnych:
cos (2A) = cos (A) cos (a) – sin(a) sin(a) = cos2(a) – sin2 (a)
sin(2A) = cos(a)sin(a) + sin(a) cos (a) = 2·sin(a) cos (a)
racja. A co z sin2 (X) lub cos2(x)?
pamiętaj, że:
sin2 (x) + cos2(x) = 1
ale z powyższych wzorów kątów podwójnych:
cos (2x) = cos2(x) – sin2 (x)
jeśli zmienimy oba dla jasności tak, że sin2 lub cos2 są same po tej samej stronie dla obu wyrażeń, a jeśli dodamy oba równania, otrzymamy:
sin2 (x) = 1 – cos2(x)
+ sin2(x) = cos2(x) – cos(2x)2·sin2(x) = 1 – cos(2x) → sin2(x) = ½ ·
możesz zrobić to samo dla cos2 (x), aby uzyskać:
cos2(x) = 1 – sin2(x)
+ cos2(x) = cos(2x) + sin2(x)2·cos2(x) = 1 + cos(2x) → cos2(x) = ½ ·
i proszę bardzo. To są praktycznie wszystkie podstawowe tożsamości, których potrzebujesz. Wszystkie pozostałe można łatwo wydedukować w kategoriach tych i relacji między grzechem, cos i innymi funkcjami trygonometrycznymi.
jednak potrzeba trochę praktyki, aby szybko i bez wysiłku uzyskać to wszystko na miejscu. Ale jak widać, kroki są ogólnie dość proste, wystarczy się do nich przyzwyczaić. Gdy już je udoskonalisz i będziesz wiedział, gdzie się udać, możesz wyciągnąć dowolną tożsamość trygonometryczną, której pragniesz, bez konkretnego ich zapamiętywania.
wszystko, co naprawdę zapamiętałeś, to definicje funkcji trygonometrycznych i zastosowałeś to do wiedzy o tym, co okrąg jednostkowy reprezentuje w kategoriach sin i cos, a także nowej wiedzy o Formule Eulera.
mam nadzieję, że to pomoże!