Først av Alt er Dette alt det grunnleggende du trenger å vite om trigonometriske funksjoner:
-
hva sinus og cosinus av en gitt vinkel representerer i enhetssirkelen.
-
den geometriske forståelsen ovenfor gir deg umiddelbart den grunnleggende identiteten: sin2 θ + cos2 θ = 1. Dette Er Bare Pythagorasetningen som brukes på sinus og cosinus og enhetssirkelen.
-
du må huske definisjonene av de andre funksjonene når det gjelder sinus og cosinus: tan x = sin x / cos x, sec x = 1 / cos x, etc. Det er imidlertid ikke utrolig nyttig eller viktig å forsøke å få en geometrisk følelse for disse når det gjelder enhetssirkelen.
Nå, dette blir sagt, jeg anbefaler at du begynner å tenke på alt dette i form av komplekse tall og radianer. Dette er noe du bare ser mye senere i kalkulus, men det er konseptuelt enkelt nok, og kraftig nok til å bli forstått og brukt nå.
På dette punktet er du allerede kjent med de grunnleggende reglene for komplekse tall, som ikke er mye utover det faktum i2 = -1. Som sådan:
(a+bi)·(c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = (ac – bd) + (ad + bc)·i
som er grunnleggende FOILing multiplikasjon.
du husker sannsynligvis eksponentiell funksjon og den naturlige logaritmen også, som involverer et spesielt nummer kalt e. dette nummeret blir VELDIG viktig senere i kalkulus, så det blir ikke vondt for deg å bli vant til det akkurat nå.
Nå er det denne veldig fantastiske formelen, kjent Som Eulers Formel (se artikkelen for forklaring på hvor den kommer fra, det er heller ikke så vanskelig å forstå på dette nivået), noe som gir deg følgende utrolig nyttige forhold:
eix = cos (x) + i * sin (x)
i Utgangspunktet sporer eix enhetssirkelen i det komplekse planet for x gitt i radianer(radianer, dette er viktig !)
ved hjelp av eix kan du raskt utlede alle trigonometriske identiteter. For eksempel vil du vite hva synd (a + b) eller cos(a+b) er (eller a-b). Erstatt x = (a + b) I eulers formel og bruk de kjente reglene for exponentials for å bryte den fra hverandre:
eix =
ei (a + b) = ·
Nå, FOILing det produktet:
· =
cos(a)cos(b) + i·cos(a)sin(b) + i·sin(a)cos(b) + i2·sin(a)sin (b))
Erstatte i2 = -1 og gruppere de reelle og imaginære delene:
cos(a)cos(b) + i·cos(a)sin(b) + i·sin(a)cos(b) + i2·sin(a)sin (b)) =
+ i
men husk at alt dette også er lik:
ei·a + b) =
eia * eib =
cos (a+b) + i * sin (a + b)
så, de virkelige og imaginære delene må samsvare. Det er:
cos (a+b) = cos (a)cos (b) – sin (a) sin (b)
sin (a+b) = cos (a) sin(b) + sin(a)cos (b))
og voila, du trengte ikke å huske noe. Når a = b, får du dobbeltvinkelformlene:
cos(2a) = cos(a)cos(a) – sin(a)sin(a) = cos2(a) – sin2(a))
sin(2a) = cos(a) sin (a) + sin (a) cos (a) = 2 * sin (a)cos (a·)
Akkurat. Så, hva med sin2 (x) eller cos2 (x)?
Husk det:
sin2 (x) + cos2 (x) = 1
men fra dobbeltvinkelformlene ovenfor:
cos(2x) = cos2 (x) – sin2 (x)
hvis vi omorganiserer begge disse for klarhet, så er sin2 eller cos2 alene på samme side for begge uttrykkene, og hvis vi legger til begge ligningene, får vi:
sin2 (x) = 1 – cos2(x)
+ sin2(x) = cos2(x) – cos(2x)2·sin2(x) = 1-cos(2x) → sin2(x) = ½ ·
du kan gjøre det samme for cos2 (x) for å få:
cos2(x) = 1-sin2 (x)
+ cos2 (x) = cos(2x) + sin2 (x)2·cos2(x) = 1 + cos(2x) → cos2(x) = ½ ·
og sånn. Dette er ganske mye alle de grunnleggende identitetene du trenger. Alle de andre kan lett utledes i forhold til disse og forholdet mellom synd, cos og de andre trig funksjoner.
det tar imidlertid litt øvelse å raskt og enkelt utlede alle disse på stedet. Men som du kan se, er trinnene generelt ganske enkle, du trenger bare å bli vant til dem. Når du får disse perfeksjonert og vet hvor du skal dra, kan du trekke ut noen trig identitet du ønsker uten bestemt utenatlæring av dem.
alt du virkelig husket var definisjonene av trig-funksjonene, og du brukte dette til kunnskapen om hva enhetssirkelen representerer i form av synd og cos, samt den nye kunnskapen Om Eulers Formel.
jeg håper dette hjelper!